Номер 176, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 176, страница 40.

Условие.

176. Представьте число: 1) 10 000; 2) -32; 3) 0,125; 4) -0,0001; 5) $-\frac{8}{343}$ в виде степени с показателем, большим 1, и наименьшим по модулю основанием.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Число 10 000 можно представить в виде степени с разными основаниями и показателями, большими 1. Например, $10000 = 100^2$ или $10000 = 10^4$. По условию задачи, необходимо выбрать представление с наименьшим по модулю основанием. Сравним модули оснований: $|100| = 100$ и $|10| = 10$. Наименьший модуль равен 10. Этому основанию соответствует показатель степени 4, который больше 1. Таким образом, искомое представление: $10000 = 10^4$.
Ответ: $10^4$

2) Число -32 является отрицательным, следовательно, основание степени должно быть отрицательным, а показатель степени – нечетным числом. Проверим степени небольших по модулю отрицательных целых чисел: $(-2)^3 = -8$, $(-2)^5 = -32$. Мы нашли представление: $-32 = (-2)^5$. Основание равно -2, его модуль $|-2| = 2$. Показатель степени равен 5, что больше 1. Любое целое основание с модулем меньше 2 (т.е. -1) не подходит, так как степени числа -1 могут быть равны только -1 или 1. Таким образом, -2 является наименьшим по модулю целым основанием.
Ответ: $(-2)^5$

3) Сначала представим десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь необходимо представить дробь $\frac{1}{8}$ в виде степени. Поскольку $1 = 1^3$ и $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. В десятичном виде это записывается как $0.5^3$. Основание степени равно 0.5, а показатель равен 3, что удовлетворяет условию $3 > 1$. Для рациональных оснований это единственное возможное решение, так как показатель степени должен быть делителем степени простых множителей в знаменателе ($8=2^3$).
Ответ: $0.5^3$

4) Число -0,00001 является отрицательным. Представим его в виде обыкновенной дроби: $-0,00001 = -\frac{1}{100000}$. Так как число отрицательное, основание искомой степени должно быть отрицательным, а показатель — нечетным. Знаменатель $100000 = 10^5$. Таким образом, $-\frac{1}{100000} = -\frac{1}{10^5} = -(\frac{1}{10})^5$. Так как показатель 5 нечетный, знак минус можно внести в основание: $(-\frac{1}{10})^5$. В десятичном виде это $(-0.1)^5$. Основание равно -0.1, показатель равен 5, что больше 1.
Ответ: $(-0.1)^5$

5) Рассмотрим отрицательную дробь $-\frac{8}{343}$. Основание степени должно быть отрицательным, а показатель — нечетным. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$ и $343 = 7^3$. Тогда дробь можно переписать следующим образом: $-\frac{8}{343} = -\frac{2^3}{7^3} = -(\frac{2}{7})^3$. Поскольку показатель 3 является нечетным, можно записать: $(-\frac{2}{7})^3$. Основание равно $-\frac{2}{7}$, а показатель равен 3, что больше 1. Это единственное представление с рациональным основанием и показателем больше 1.
Ответ: $(-\frac{2}{7})^3$