Номер 5, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. Вопросы к параграфу 20 - номер 5, страница 138.

Условие.

5. Что такое область определения функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Область определения функции (или область задания функции) — это множество всех допустимых значений аргумента (независимой переменной, обычно обозначаемой как $x$), при которых функция определена, то есть её значение (зависимая переменная, обычно $y$ или $f(x)$) может быть вычислено и является действительным числом. Область определения функции часто обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

Проще говоря, это все значения $x$, которые можно подставить в формулу функции, чтобы получить осмысленный результат. При нахождении области определения основной задачей является выявление и исключение тех значений аргумента, которые приводят к математически недопустимым операциям.

Основные ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения функции, заданной аналитически (формулой):

• Деление на ноль. Если функция содержит дробь вида $\frac{g(x)}{h(x)}$, то знаменатель этой дроби не может быть равен нулю. Поэтому накладывается ограничение $h(x) \neq 0$.
  Пример: Для функции $y = \frac{5}{x-3}$, знаменатель $x-3$ не должен равняться нулю. Решаем $x-3 \neq 0$, откуда получаем $x \neq 3$. Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 3. В виде интервала это записывается как $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• Извлечение корня четной степени. Если функция содержит корень четной степени (квадратный $\sqrt{\cdot}$, четвертой степени $\sqrt[4]{\cdot}$ и т.д.), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Для функции вида $y = \sqrt[2n]{g(x)}$ необходимо решить неравенство $g(x) \ge 0$.
  Пример: Для функции $y = \sqrt{x+2}$, подкоренное выражение $x+2$ должно быть неотрицательным. Решаем неравенство $x+2 \ge 0$, откуда получаем $x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.
• Логарифмические функции. Если функция содержит логарифм вида $y = \log_a(g(x))$, то выражение под знаком логарифма (аргумент логарифма) должно быть строго положительным. Необходимо решить неравенство $g(x) > 0$.
  Пример: Для функции $y = \ln(1-x)$, аргумент логарифма $1-x$ должен быть строго больше нуля. Решаем неравенство $1-x > 0$, откуда получаем $x < 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1)$.
• Тригонометрические функции. Некоторые тригонометрические функции также имеют ограничения. Например, тангенс $y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ не определен, когда $\cos(x) = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Котангенс $y = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ не определен, когда $\sin(x) = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Если в формуле функции нет ни одной из перечисленных операций (например, в многочленах типа $y = x^2 + 3x - 5$), то ее область определения — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл (т.е. могут быть выполнены все указанные в нем действия) и принимает действительные значения.