Номер 756, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 756, страница 139.

Условие.

756. В цистерне было 300 л воды. Через открытый кран каждую минуту из цистерны выливается 2 л воды. Задайте формулой зависимость объёма $V$ воды в цистерне от времени $t$, в течение которого из неё выливается вода. Является ли правило, с помощью которого по значению переменной $t$ находят значение переменной $V$, функцией? В случае утвердительного ответа укажите область определения и область значений этой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Задайте формулой зависимость объёма V воды в цистерне от времени t, в течение которого из неё выливается вода.

Пусть $V$ — это объём воды в цистерне в литрах, а $t$ — время в минутах с момента открытия крана. Начальный объём воды в цистерне составляет 300 л. Скорость выливания воды — 2 л в минуту. За время $t$ минут из цистерны выльется объём воды, равный $2 \times t$ литров. Объём $V$, оставшийся в цистерне через $t$ минут, равен разности начального объёма и объёма вылившейся воды. Таким образом, формула зависимости имеет вид: $V(t) = 300 - 2t$.

Ответ: $V = 300 - 2t$.

Является ли правило, с помощью которого по значению переменной t находят значение переменной V, функцией?

По определению, правило является функцией, если каждому значению независимой переменной (аргумента) из области определения соответствует ровно одно значение зависимой переменной. В данном случае независимая переменная — это время $t$, а зависимая — объём $V$. Установленная зависимость $V = 300 - 2t$ для любого конкретного момента времени $t$ (из области определения) даёт единственное возможное значение объёма $V$. Например, при $t=50$ минут, объём будет строго равен $V = 300 - 2 \times 50 = 200$ литров. Следовательно, это правило является функцией.

Ответ: Да, является.

Укажите область определения и область значений этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента, то есть времени $t$. С физической точки зрения, время не может быть отрицательным, поэтому $t \ge 0$. Процесс выливания воды продолжается, пока в цистерне есть вода. Объём воды также не может быть отрицательным, поэтому $V \ge 0$. Подставим выражение для $V$ в это неравенство: $300 - 2t \ge 0$. Решим его относительно $t$: $300 \ge 2t$ $150 \ge t$, или $t \le 150$. Объединяя оба условия ($t \ge 0$ и $t \le 150$), получаем область определения функции: $t \in [0; 150]$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция, то есть объём $V$. В начальный момент времени ($t=0$) объём воды в цистерне максимален: $V(0) = 300 - 2 \times 0 = 300$ л. В момент, когда вся вода вытечет ($t=150$), объём будет минимален: $V(150) = 300 - 2 \times 150 = 300 - 300 = 0$ л. Поскольку функция $V(t)$ является линейной и непрерывной на отрезке $[0; 150]$, она принимает все значения между 0 и 300 включительно. Таким образом, область значений функции: $V \in [0; 300]$.

Ответ: Область определения: $t \in [0; 150]$. Область значений: $V \in [0; 300]$.