Номер 763, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 763, страница 139.

Условие.

763. Каждому рациональному числу, отличному от нуля, соответствует обратное ему число. Является ли такое правило функцией?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, является ли заданное правило функцией, необходимо проверить, удовлетворяет ли оно определению функции. Функция — это такое правило, по которому каждому элементу из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент из другого множества.

В данном случае, область определения — это множество всех рациональных чисел, отличных от нуля. Обозначим произвольное число из этого множества как $x$. Правило сопоставляет каждому такому $x$ обратное ему число, то есть $\frac{1}{x}$.

Проверим два основных условия, которым должно удовлетворять правило, чтобы быть функцией:

1. Для каждого элемента из области определения должно существовать соответствующее ему значение.
Областью определения являются все рациональные числа, кроме нуля ($x \in \mathbb{Q}, x \neq 0$). Для любого такого числа $x$ обратное число $\frac{1}{x}$ всегда существует. Если $x$ представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$ (где $p, q$ — целые числа, $p \neq 0$ и $q \neq 0$), то обратное ему число будет $\frac{q}{p}$. Так как $p \neq 0$, это выражение всегда определено. Таким образом, это условие выполняется.

2. Для каждого элемента из области определения соответствующее значение должно быть единственным.
Для каждого конкретного рационального числа $x \neq 0$ существует только одно обратное ему число. Невозможно, чтобы для одного и того же $x$ было два разных обратных числа. Например, для числа $5$ обратным является только число $\frac{1}{5}$, а для числа $-\frac{3}{7}$ — только число $-\frac{7}{3}$. Это условие также выполняется.

Поскольку для каждого элемента из области определения (все рациональные числа, кроме нуля) существует ровно одно соответствующее ему значение (обратное число), данное правило является функцией. Эту функцию можно записать в виде формулы $f(x) = \frac{1}{x}$.

Ответ: Да, такое правило является функцией.