Номер 769, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 769, страница 142.

Условие.

769. Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой $f$, найдите $f(2)$, $f(-5)$, $f(0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поясните, почему описанное правило является функцией

Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

В данном случае каждому числу $x$ (аргумент) ставится в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (точки 0). Расстояние между точкой $x$ и точкой 0 на прямой вычисляется как модуль (абсолютная величина) числа $x$, то есть $|x|$.

Для любого действительного числа $x$ существует ровно одно значение его модуля $|x|$. Поскольку каждому числу $x$ соответствует единственное значение расстояния $|x|$, данное правило является функцией.

Найдите её область определения и область значений

Заданная функция может быть описана формулой $f(x) = |x|$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Поскольку модуль можно вычислить для любого действительного числа, а в условии сказано "каждому числу", то область определения функции — это множество всех действительных чисел. В виде интервала это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция. Функция $f(x) = |x|$ описывает расстояние, которое не может быть отрицательным. Значение модуля любого числа всегда больше или равно нулю ($|x| \ge 0$). Любое неотрицательное число может быть получено в качестве значения функции (например, для любого числа $a \ge 0$ значение $a$ достигается при $x=a$ или $x=-a$). Таким образом, область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел. В виде интервала это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$.

Обозначив эту функцию буквой f, найдите f(2), f(-5), f(0)

Используя формулу функции $f(x) = |x|$, вычислим её значения в заданных точках:
$f(2) = |2| = 2$
$f(-5) = |-5| = 5$
$f(0) = |0| = 0$

Ответ: $f(2) = 2$, $f(-5) = 5$, $f(0) = 0$.