Номер 773, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §20. Связи между величинами. Функция - номер 773, страница 143.

Условие.

773. Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 7. Является ли это правило функцией? В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Является ли это правило функцией?

По определению, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества.

В рассматриваемом правиле каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток от деления этого числа на 7. Согласно теореме о делении с остатком, для любого натурального числа $n$ и делителя 7 существует единственная пара чисел — неполное частное $q$ и остаток $r$, такие что $n = 7q + r$, где $r$ — целое число и $0 \le r < 7$.

Поскольку для каждого натурального числа $n$ существует ровно один, то есть единственный, остаток при делении на 7, данное правило полностью удовлетворяет определению функции.

Ответ: Да, это правило является функцией.

В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (входных данных). По условию задачи, правило применяется к «каждому натуральному числу». Следовательно, областью определения является множество всех натуральных чисел, которое обозначается $N$.
Область определения: $D(f) = N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (выходные данные). В данном случае, это множество всех возможных остатков при делении натурального числа на 7. Как было указано выше, остаток $r$ от деления на 7 может быть любым целым числом, удовлетворяющим неравенству $0 \le r < 7$. То есть, возможные остатки — это $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Все эти значения достигаются. Например:
При делении 7 на 7 остаток равен 0.
При делении 1 на 7 остаток равен 1.
При делении 2 на 7 остаток равен 2.
...
При делении 6 на 7 остаток равен 6.
Следовательно, область значений функции — это множество $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Область значений: $E(f) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ответ: Область определения — множество натуральных чисел $N$. Область значений — множество $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.