Номер 8, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. Вопросы к параграфу 20 - номер 8, страница 138.

Условие.

8. Что такое область значений функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Область значений функции (также множество значений функции) — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (функция) в результате применения этой функции ко всем элементам из её области определения.

Говоря более формально, для функции $f$, которая отображает множество $X$ (область определения) в множество $Y$ (кодомен), то есть $f: X \to Y$, область значений $E(f)$ есть множество всех элементов $y \in Y$, для которых существует хотя бы один элемент $x \in X$ такой, что $f(x) = y$.

Простыми словами: если представить функцию как некий "преобразователь", то область определения — это всё, что мы можем подать на "вход", а область значений — это всё, что может получиться на "выходе".

Область значений функции часто обозначается как $E(f)$ или $E(y)$.

Пример 1: Рассмотрим функцию $y = x^2$. Область определения этой функции ($D(y)$) — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$. Поскольку квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом, значения $y$ могут быть любым числом от 0 и больше. Следовательно, область значений этой функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

Пример 2: Рассмотрим функцию $y = \sin(x)$. Область определения ($D(y)$) — также все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Однако, как известно, значения синуса любого угла лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Функция никогда не принимает значения больше 1 или меньше -1. Следовательно, область значений этой функции: $E(y) = [-1, 1]$.

Ответ: Область значений функции — это множество всех возможных "выходных" значений, которые функция может принять при подстановке в неё всех допустимых "входных" значений из её области определения.