Номер 5, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Вопросы к параграфу 24 - номер 5, страница 183.

Условие.

5. Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Да, график уравнения с двумя переменными может состоять только из одной точки. Это происходит в том случае, когда уравнение имеет единственное решение — одну пару чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет этому уравнению.

Такое уравнение можно составить, используя свойство, что сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, мы можем использовать сумму квадратов.

Пример

Рассмотрим уравнение: $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 0$.

Выражения $(x - 3)^2$ и $(y - 1)^2$ всегда неотрицательны, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$. Их сумма будет равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю одновременно:

$\begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y - 1)^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы следует:

$\begin{cases} x - 3 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Таким образом, единственной парой чисел, удовлетворяющей исходному уравнению, является $(3, 1)$. Следовательно, график этого уравнения состоит только из одной точки на координатной плоскости с координатами $(3, 1)$.

Ответ: да, может.