Номер 4, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Вопросы к параграфу 25 - номер 4, страница 190.

Условие.

4. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ уравнение $ax + by = c$ не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$: $ax + by = c$.

Чтобы определить, при каких значениях параметров $a$, $b$ и $c$ это уравнение не имеет решений, необходимо проанализировать возможные случаи для коэффициентов.

1. Случай, когда оба коэффициента при переменных равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$.

Если подставить эти значения в уравнение, оно примет вид:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$

Упрощая левую часть, получаем:

$0 = c$

Теперь нужно рассмотреть значение $c$:

• Если $c = 0$, мы получаем верное равенство $0 = 0$. Это равенство истинно для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений (любая пара чисел $(x, y)$ является решением).
• Если $c \neq 0$, мы получаем неверное равенство, например, $0 = 5$. Такое равенство не может быть выполнено ни при каких значениях $x$ и $y$. В этом случае уравнение не имеет решений.

2. Случай, когда хотя бы один из коэффициентов, $a$ или $b$, не равен нулю (то есть $a \neq 0$ или $b \neq 0$).

В этом случае уравнение $ax + by = c$ является уравнением прямой линии на координатной плоскости. Например:

• Если $b \neq 0$, можно выразить $y$: $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Это уравнение наклонной или горизонтальной прямой.
• Если $b = 0$, то $a$ должно быть не равно нулю. Уравнение становится $ax = c$, или $x = \frac{c}{a}$. Это уравнение вертикальной прямой.

Любая прямая линия состоит из бесконечного множества точек, и координаты каждой из этих точек $(x, y)$ являются решением уравнения. Таким образом, если хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, уравнение всегда имеет бесконечно много решений.

Вывод

Из анализа следует, что уравнение $ax + by = c$ не имеет решений только в одном случае: когда коэффициенты при переменных $x$ и $y$ равны нулю, а свободный член $c$ отличен от нуля.

Ответ: Уравнение $ax + by = c$ не имеет решений при $a = 0$, $b = 0$ и $c \neq 0$.