Номер 949, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 949, страница 186.

Условие.

949. Сравните значения выражений $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 999 \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для сравнения значений выражений $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$ обозначим их как $A$ и $B$ соответственно.

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2 = (1000!)^2$

$B = 1000^{1000}$

Распишем выражение $A$ как произведение двух скобок, причем вторую скобку запишем в обратном порядке:

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) \cdot (1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot \dots \cdot 1)$

Теперь сгруппируем множители, перемножая попарно числа, стоящие на одинаковых местах в каждой скобке:

$A = (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot (3 \cdot 998) \cdot \dots \cdot (k \cdot (1001 - k)) \cdot \dots \cdot (1000 \cdot 1)$

Выражение $B$ можно представить в виде произведения 1000 одинаковых множителей:

$B = \underbrace{1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000}_{1000 \text{ множителей}}$

Теперь мы можем сравнить выражения $A$ и $B$. Каждое из них является произведением 1000 множителей. Сравним соответствующие множители.

Множители выражения $A$ имеют вид $a_k = k \cdot (1001 - k)$ для $k$ от 1 до 1000. Все множители выражения $B$ равны 1000.

Рассмотрим значения множителей $a_k$:

Для $k=1$: $a_1 = 1 \cdot (1001 - 1) = 1 \cdot 1000 = 1000$.

Для $k=1000$: $a_{1000} = 1000 \cdot (1001 - 1000) = 1000 \cdot 1 = 1000$.

Таким образом, первый и последний множители в произведении $A$ равны 1000, так же как и в произведении $B$.

Теперь рассмотрим множители $a_k$ для всех остальных целых $k$ в диапазоне $1 < k < 1000$, то есть для $k = 2, 3, \dots, 999$.

Сравним произведение $k \cdot (1001 - k)$ с числом 1000. Для этого рассмотрим их разность:

$k \cdot (1001 - k) - 1000 = 1001k - k^2 - 1000$

Это выражение является квадратичной функцией от $k$, $f(k) = -k^2 + 1001k - 1000$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем корни уравнения $f(k) = 0$, то есть $-k^2 + 1001k - 1000 = 0$. Умножим обе части на -1: $k^2 - 1001k + 1000 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1001, а их произведение равно 1000. Отсюда корни уравнения: $k_1 = 1$ и $k_2 = 1000$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции $f(k)$ положительны между корнями, то есть при $1 < k < 1000$.

Следовательно, для всех целых $k$ от 2 до 999 выполняется неравенство $k \cdot (1001 - k) - 1000 > 0$, что эквивалентно $k \cdot (1001 - k) > 1000$.

Таким образом, мы сравниваем два произведения. В произведении $A$: два множителя ($a_1$ и $a_{1000}$) равны 1000, а остальные 998 множителей строго больше 1000. В произведении $B$ все 1000 множителей равны 1000. Поскольку все множители положительны, и в произведении $A$ есть множители, которые строго больше соответствующих множителей в $B$, а остальные равны, то произведение $A$ строго больше произведения $B$.

Ответ: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2 > 1000^{1000}$.