Номер 948, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 948, страница 186.

Условие.

948. Известно, что при некоторых значениях $m, n$ и $k$ значение выражения $3m^2n$ равно 2, а значение выражения $n^2k^4$ равно 3. Найдите при тех же самых значениях $m, n$ и $k$ значение выражения:

1) $(3m^2n^2k^2)^2$;

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи нам даны два равенства:

1) $3m^2n = 2$

2) $n^2k^4 = 3$

Необходимо найти значения выражений, используя эти данные.

1) $(3m^2n^2k^2)^2$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Используем свойство степени $(abc)^x = a^x b^x c^x$ и $(a^x)^y = a^{xy}$:

$(3m^2n^2k^2)^2 = 3^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot (k^2)^2 = 9m^4n^4k^4$

Теперь сгруппируем множители так, чтобы можно было использовать данные из условия задачи. Для этого представим выражение в виде произведения выражений, значения которых нам известны.

Заметим, что $9m^4n^4k^4$ можно переписать как $(9m^4n^2) \cdot (n^2k^4)$.

Первый множитель $9m^4n^2$ можно представить как квадрат выражения $3m^2n$:

$9m^4n^2 = (3m^2n)^2$

Тогда все выражение примет вид:

$(3m^2n)^2 \cdot (n^2k^4)$

Подставим известные значения $3m^2n = 2$ и $n^2k^4 = 3$:

$2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12

2) $(-2m^2nk^2)^3 \cdot (0,5n^2k)^2$

Сначала раскроем скобки в каждом множителе, возводя в степень каждый сомножитель внутри скобок:

$(-2m^2nk^2)^3 = (-2)^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 \cdot (k^2)^3 = -8m^6n^3k^6$

$(0,5n^2k)^2 = (0,5)^2 \cdot (n^2)^2 \cdot k^2 = 0,25n^4k^2$

Теперь перемножим полученные выражения, умножая коэффициенты и складывая степени при одинаковых основаниях:

$(-8m^6n^3k^6) \cdot (0,25n^4k^2) = (-8 \cdot 0,25) \cdot m^6 \cdot (n^3 \cdot n^4) \cdot (k^6 \cdot k^2) = -2m^6n^7k^8$

Сгруппируем переменные в полученном одночлене так, чтобы использовать известные нам значения. Представим его в виде произведения:

$-2m^6n^7k^8 = -2 \cdot (m^6n^3) \cdot (n^4k^8)$

Выразим значения этих групп через данные условия:

Из $3m^2n = 2$ следует, что $m^2n = \frac{2}{3}$. Возведем обе части в куб: $(m^2n)^3 = (\frac{2}{3})^3$, что дает $m^6n^3 = \frac{8}{27}$.

Из $n^2k^4 = 3$ следует, что $(n^2k^4)^2 = 3^2$, что дает $n^4k^8 = 9$.

Подставим эти значения обратно в сгруппированное выражение:

$-2 \cdot (m^6n^3) \cdot (n^4k^8) = -2 \cdot \frac{8}{27} \cdot 9$

Выполним вычисление:

$-2 \cdot \frac{8}{27} \cdot 9 = -2 \cdot \frac{8 \cdot 9}{27} = -2 \cdot \frac{72}{27}$

Сократим дробь $\frac{72}{27}$ на 9:

$\frac{72 \div 9}{27 \div 9} = \frac{8}{3}$

Тогда итоговое значение равно:

$-2 \cdot \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$

Ответ: $-\frac{16}{3}$