Номер 941, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 941, страница 185.

Условие.

941. Графиком уравнения $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$ является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 48). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

Рис. 48

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью абсцисс (Ox) и пересечение с осью ординат (Oy).

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точки, лежащие на оси абсцисс, имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение кривой $(x^2 + y^2 + y)^2 = x^2 + y^2$:

$(x^2 + 0^2 + 0)^2 = x^2 + 0^2$

$(x^2)^2 = x^2$

$x^4 = x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители:

$x^4 - x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$

2) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$

Таким образом, мы нашли три точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точки, лежащие на оси ординат, имеют абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение кривой:

$(0^2 + y^2 + y)^2 = 0^2 + y^2$

$(y^2 + y)^2 = y^2$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y^2 + y = y \quad$ или $\quad y^2 + y = -y$

Решим первое уравнение:

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Решим второе уравнение:

$y^2 + 2y = 0$

$y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y = 0$ или $y = -2$.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения с осью Oy: $(0; 0)$ и $(0; -2)$.

Объединяя все найденные уникальные точки, получаем полный список координат точек пересечения кардиоиды с осями координат.

Ответ: $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(-1; 0)$, $(0; -2)$.