Номер 939, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 939, страница 185.

Условие.

939. Решите уравнение:

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y;$

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0;$

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + y^2 + 4 = 4y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $y$, и выделим полный квадрат. Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности $(y - 2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + (y - 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений ($x^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений равно нулю. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 0 \\ (y - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Из второго уравнения получаем $y - 2 = 0$, откуда $y = 2$.

Ответ: $(0; 2)$.

2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ для выделения полных квадратов:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 10 = 0$

Для выделения полного квадрата для $x$, используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=2x$, значит $b=1$. Нужный полный квадрат: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

Для выделения полного квадрата для $y$, используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=y$, $2ab=6y$, значит $b=3$. Нужный полный квадрат: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.

Представим свободный член 10 как сумму $1 + 9$ и перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 0$

Теперь заменим выражения в скобках на полные квадраты:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из них равен нулю:

$\begin{cases} (x + 1)^2 = 0 \\ (y - 3)^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

$y - 3 = 0 \implies y = 3$

Ответ: $(-1; 3)$.

3) $x^2 + y^2 + x + y + 0,5 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ для выделения полных квадратов:

$(x^2 + x) + (y^2 + y) + 0,5 = 0$

Для выражения $x^2 + x$ полный квадрат это $(x + 0,5)^2 = x^2 + x + 0,25$.

Для выражения $y^2 + y$ полный квадрат это $(y + 0,5)^2 = y^2 + y + 0,25$.

Представим свободный член $0,5$ как сумму $0,25 + 0,25$ и перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + x + 0,25) + (y^2 + y + 0,25) = 0$

Заменяем на полные квадраты:

$(x + 0,5)^2 + (y + 0,5)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждый квадрат равен нулю:

$\begin{cases} (x + 0,5)^2 = 0 \\ (y + 0,5)^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$x + 0,5 = 0 \implies x = -0,5$

$y + 0,5 = 0 \implies y = -0,5$

Ответ: $(-0,5; -0,5)$.

4) $9x^2 + y^2 + 2 = 6x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$9x^2 - 6x + y^2 + 2 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и выделим полный квадрат. Выражение $9x^2 - 6x$ является частью квадрата $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$.

Представим свободный член 2 как сумму $1 + 1$ и перегруппируем слагаемые:

$(9x^2 - 6x + 1) + y^2 + 1 = 0$

Заменим выражение в скобках на полный квадрат:

$(3x - 1)^2 + y^2 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(3x - 1)^2 + y^2 = -1$

В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(3x - 1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Их сумма также будет неотрицательной: $(3x - 1)^2 + y^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число -1. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.