Номер 937, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 937, страница 185.

Условие.

937. Кате надо заплатить за брошюру 29 р. У неё есть только монеты по 2 р. и по 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачи?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $x$ — количество монет достоинством 2 рубля, а $y$ — количество монет достоинством 5 рублей. Чтобы заплатить 29 рублей без сдачи, должно выполняться следующее уравнение:

$2x + 5y = 29$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

Выразим $2x$ из этого уравнения:

$2x = 29 - 5y$

Левая часть уравнения ($2x$) является чётным числом при любом целом $x$. Следовательно, и правая часть ($29 - 5y$) также должна быть чётной. Поскольку число 29 — нечётное, для получения чётной разности необходимо, чтобы вычитаемое $5y$ также было нечётным. Произведение двух чисел нечётно только тогда, когда оба множителя нечётны. Так как 5 — нечётное число, $y$ тоже должно быть нечётным.

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$, что означает $2x \ge 0$. Следовательно:

$29 - 5y \ge 0$

$5y \le 29$

$y \le \frac{29}{5}$

$y \le 5.8$

Таким образом, нам нужно найти все нечётные, целые и неотрицательные значения $y$, которые не превышают 5.8. Такими значениями являются 1, 3 и 5.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев, подставляя значения $y$ в уравнение для нахождения $x$:

1. Если $y = 1$ (использована одна 5-рублёвая монета):
$2x = 29 - 5 \cdot 1 = 24$
$x = 12$ (двенадцать 2-рублёвых монет).
Это первый способ: 12 монет по 2 р. и 1 монета по 5 р.

2. Если $y = 3$ (использованы три 5-рублёвые монеты):
$2x = 29 - 5 \cdot 3 = 29 - 15 = 14$
$x = 7$ (семь 2-рублёвых монет).
Это второй способ: 7 монет по 2 р. и 3 монеты по 5 р.

3. Если $y = 5$ (использованы пять 5-рублёвых монет):
$2x = 29 - 5 \cdot 5 = 29 - 25 = 4$
$x = 2$ (две 2-рублёвые монеты).
Это третий способ: 2 монеты по 2 р. и 5 монет по 5 р.

Мы нашли три возможные комбинации монет. Таким образом, существует три способа рассчитаться за покупку.

Ответ: 3.