Номер 930, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 930, страница 184.

Условие.

930. Приведите пример уравнения с переменными $x$ и $y$:

1) имеющего одно решение;

2) не имеющего решений;

3) имеющего бесконечно много решений;

4) решением которого является любая пара чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) имеющего одно решение;

Чтобы уравнение с двумя переменными имело только одно решение, можно использовать свойство неотрицательности квадрата числа. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.

Рассмотрим уравнение: $ (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 0 $.

Поскольку $ (x - 5)^2 \ge 0 $ и $ (y + 2)^2 \ge 0 $, их сумма может быть равна нулю только если: $ (x - 5)^2 = 0 $ и $ (y + 2)^2 = 0 $.

Отсюда следует: $ x - 5 = 0 \implies x = 5 $ $ y + 2 = 0 \implies y = -2 $

Таким образом, пара чисел $ (5; -2) $ является единственным решением данного уравнения.

Ответ: $ (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 0 $.

2) не имеющего решений;

Чтобы составить уравнение, не имеющее решений, можно создать ситуацию, в которой одна часть уравнения по определению не может быть равна другой. Например, приравнять неотрицательное выражение к отрицательному числу.

Рассмотрим уравнение: $ x^2 + y^2 = -1 $.

В левой части уравнения стоит сумма квадратов $ x^2 + y^2 $. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ значения $x^2$ и $y^2$ неотрицательны, то есть $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $ x^2 + y^2 \ge 0 $.

В правой части уравнения стоит отрицательное число -1. Неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, поэтому не существует такой пары чисел $(x; y)$, которая бы удовлетворяла этому уравнению.

Ответ: $ x^2 + y^2 = -1 $.

3) имеющего бесконечно много решений;

Большинство стандартных уравнений с двумя переменными имеют бесконечно много решений. Классическим примером является линейное уравнение, график которого — прямая линия.

Рассмотрим уравнение: $ x + y = 7 $.

Мы можем выразить одну переменную через другую: $ y = 7 - x $. Теперь, выбрав любое значение для $x$, мы можем вычислить соответствующее значение $y$. Поскольку для $x$ можно выбрать бесконечно много значений, то и пар-решений $(x; y)$ будет бесконечно много.

Например:

• Если $ x = 0 $, то $ y = 7 $. Решение: $ (0; 7) $.
• Если $ x = 1 $, то $ y = 6 $. Решение: $ (1; 6) $.
• Если $ x = -2 $, то $ y = 9 $. Решение: $ (-2; 9) $.

Все эти точки лежат на одной прямой, и их количество бесконечно.

Ответ: $ x + y = 7 $.

4) решением которого является любая пара чисел.

Уравнение, решением которого является любая пара чисел, является тождеством. То есть, после преобразований оно превращается в верное равенство вида $ 0 = 0 $ или $ a = a $, которое не зависит от значений переменных.

Рассмотрим уравнение: $ 5(x + y) - 5x = 5y $.

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки: $ 5x + 5y - 5x = 5y $.

Приведем подобные слагаемые в левой части ($ 5x $ и $ -5x $): $ 5y = 5y $.

Мы получили верное равенство, которое будет выполняться при любых значениях $x$ и $y$. Какую бы пару чисел мы ни подставили, уравнение всегда будет верным.

Ответ: $ 5(x + y) - 5x = 5y $.