Номер 931, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 931, страница 184.

Условие.

931. Что представляет собой график уравнения:

1) $(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 0;$

2) $|x + 9| + |y - 8| = 0;$

3) $4x + y = y + 4x;$

4) $(x - 1)(y + 5) = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Рассмотрим уравнение $(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 0$. Выражения $(x - 1)^2$ и $(y + 5)^2$ представляют собой квадраты действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y + 5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} (x - 1)^2 = 0 \\ (y + 5)^2 = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 5 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -5 \end{cases} $
Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами $(1, -5)$.
Ответ: точка с координатами $(1, -5)$.

2) Рассмотрим уравнение $|x + 9| + |y - 8| = 0$. Выражения $|x + 9|$ и $|y - 8|$ представляют собой модули (абсолютные величины) действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны, то есть $|x + 9| \ge 0$ и $|y - 8| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} |x + 9| = 0 \\ |y - 8| = 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x + 9 = 0 \\ y - 8 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -9 \\ y = 8 \end{cases} $
Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами $(-9, 8)$.
Ответ: точка с координатами $(-9, 8)$.

3) Рассмотрим уравнение $4x + y = y + 4x$. Упростим данное уравнение, перенеся все члены в одну сторону:
$4x + y - y - 4x = 0$
$0 = 0$
Мы получили тождество, которое верно для любых действительных значений $x$ и $y$. Это означает, что координаты любой точки $(x, y)$ на плоскости удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, график данного уравнения представляет собой всю координатную плоскость.
Ответ: вся координатная плоскость.

4) Рассмотрим уравнение $(x - 1)(y + 5) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x - 1 = 0$ или $y + 5 = 0$.
Решая каждое из них, получаем:
$x = 1$ — это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy.
$y = -5$ — это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых. Эти прямые перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке $(1, -5)$.
Ответ: две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями $x=1$ и $y=-5$.