Номер 927, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 927, страница 184.

Условие.

927. Имеет ли решения уравнение:

1) $y^2 = x^2$;

2) $y^2 = -x^2$;

3) $xy = 0$;

4) $x^2 + y^2 = 25$;

5) $x^2 + y^2 = -25$;

6) $x^2 - y^2 = -9$;

7) $|x| + |y| = 1$;

8) $|x| + |y| = 0$;

9) $|x| + |y| = -1?$

В случае утвердительного ответа укажите примеры решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $y^2 = x^2$
Да, уравнение имеет решения. Это равенство выполняется для любой пары чисел $(x, y)$, для которых $y$ равен $x$ или $-x$. Например, если $x=5$, то $y$ может быть равен $5$ или $-5$. В обоих случаях $y^2=25$ и $x^2=25$.
Ответ: Да, имеет. Например, $(5, 5)$, $(2, -2)$.

2) $y^2 = -x^2$
Да, уравнение имеет решение. Его можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Следовательно, $x^2=0$ и $y^2=0$, что означает $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Решение: $(0, 0)$.

3) $xy = 0$
Да, уравнение имеет решения. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть, решением является любая пара чисел, в которой либо $x=0$, либо $y=0$ (или оба равны нулю).
Ответ: Да, имеет. Например, $(7, 0)$, $(0, -3)$.

4) $x^2 + y^2 = 25$
Да, уравнение имеет решения. Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $5$. Любая точка на этой окружности является решением.
Ответ: Да, имеет. Например, $(3, 4)$ (так как $3^2+4^2=9+16=25$) или $(0, 5)$ (так как $0^2+5^2=25$).

5) $x^2 + y^2 = -25$
Нет, не имеет решений в действительных числах. Сумма квадратов двух действительных чисел $x^2 + y^2$ всегда неотрицательна ($x^2 + y^2 \ge 0$), а в правой части уравнения стоит отрицательное число $-25$. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному.
Ответ: Нет, не имеет.

6) $x^2 - y^2 = -9$
Да, уравнение имеет решения. Его можно записать в виде $y^2 - x^2 = 9$. Например, если подставить $x=0$, получим $y^2=9$, откуда $y = \pm 3$.
Ответ: Да, имеет. Например, $(0, 3)$, $(4, -5)$ (так как $4^2 - (-5)^2 = 16 - 25 = -9$).

7) $|x| + |y| = 1$
Да, уравнение имеет решения. Модуль любого числа неотрицателен, и можно подобрать бесконечно много пар чисел, сумма модулей которых равна 1.
Ответ: Да, имеет. Например, $(1, 0)$, $(0.5, 0.5)$, $(-0.2, 0.8)$.

8) $|x| + |y| = 0$
Да, уравнение имеет решение. Сумма двух неотрицательных величин $|x|$ и $|y|$ равна нулю только тогда, когда каждая из них равна нулю. То есть $|x|=0$ и $|y|=0$, откуда $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Решение: $(0, 0)$.

9) $|x| + |y| = -1$
Нет, не имеет решений. Сумма модулей $|x| + |y|$ всегда неотрицательна ($|x| + |y| \ge 0$), а в правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$. Равенство невозможно.
Ответ: Нет, не имеет.