Номер 929, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 929, страница 184.

Условие.

929. Сколько решений имеет уравнение:

1) $x^2 + (y-2)^2 = 0;$

2) $(x+3)^2 + (y-1)^2 = 0;$

3) $9x^2 + 16y^2 = 0;$

4) $(x^2 + y^2) y = 0;$

5) $xy = 2;$

6) $|x+1| + |y| = 0;$

7) $x^2 + |y| = -100;$

8) $x + y = 2?$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + (y-2)^2 = 0$

В данном уравнении мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, $x^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 = 0 \\ (y-2)^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $x = 0$. Из второго уравнения получаем $y-2=0$, откуда $y = 2$. Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(0; 2)$.

Ответ: 1 решение.

2) $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Аналогично первому пункту, это сумма двух квадратов. Сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$ \begin{cases} (x+3)^2 = 0 \\ (y-1)^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения $x+3=0$, следовательно $x = -3$. Из второго $y-1=0$, следовательно $y = 1$. Уравнение имеет единственное решение: $(-3; 1)$.

Ответ: 1 решение.

3) $9x^2 + 16y^2 = 0$

Это уравнение также представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как $9x^2 = (3x)^2 \ge 0$ и $16y^2 = (4y)^2 \ge 0$. Сумма будет равна нулю только если оба слагаемых равны нулю:

$ \begin{cases} 9x^2 = 0 \\ 16y^2 = 0 \end{cases} $

Отсюда следует, что $x=0$ и $y=0$. Уравнение имеет единственное решение: $(0; 0)$.

Ответ: 1 решение.

4) $(x^2 + y^2)y = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $y = 0$. В этом случае уравнение $(x^2 + 0^2) \cdot 0 = 0$ превращается в тождество $0 = 0$, которое верно при любом значении $x$. Таким образом, все точки вида $(x; 0)$, где $x$ — любое действительное число, являются решениями. Это вся ось абсцисс.

б) $x^2 + y^2 = 0$. Как мы уже знаем, сумма квадратов равна нулю только если оба основания равны нулю, то есть $x=0$ и $y=0$. Решение $(0; 0)$ уже входит в множество решений из пункта а).

Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

5) $xy = 2$

Это уравнение задает гиперболу. Мы можем выразить одну переменную через другую, например, $y = \frac{2}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$). Для любого ненулевого значения $x$ мы можем найти соответствующее значение $y$. Например, $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(-1; -2)$, $(4; 0.5)$ — все это решения. Так как существует бесконечно много действительных чисел $x$, которые можно подставить в это выражение, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

6) $|x + 1| + |y| = 0$

Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x+1| \ge 0$ и $|y| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

$ \begin{cases} |x+1| = 0 \\ |y| = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения $x+1=0$, следовательно $x = -1$. Из второго $y=0$. Уравнение имеет единственное решение: $(-1; 0)$.

Ответ: 1 решение.

7) $x^2 + |y| = -100$

Рассмотрим левую часть уравнения. Слагаемое $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$. Слагаемое $|y|$ также всегда неотрицательно: $|y| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной: $x^2 + |y| \ge 0$.

Правая часть уравнения равна $-100$, что является отрицательным числом. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.

8) $x + y = 2$

Это линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая линия. Мы можем выразить $y$ через $x$: $y = 2 - x$. Для любого действительного значения $x$ мы можем вычислить соответствующее значение $y$. Например, если $x=0$, то $y=2$; если $x=1$, то $y=1$; если $x=5$, то $y=-3$. Поскольку $x$ может принимать бесконечно много значений, существует бесконечно много пар $(x; y)$, удовлетворяющих этому уравнению.

Ответ: бесконечно много решений.