Номер 934, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 934, страница 185.

Условие.

934. Найдите все пары $(x, y)$ натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения:

1) $2x + 3y = 5;$

2) $x + 5y = 16.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $2x + 3y = 5$

Нам необходимо найти пары натуральных чисел $(x; y)$, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Выразим переменную $x$ из уравнения:

$2x = 5 - 3y$

$x = \frac{5 - 3y}{2}$

Поскольку $x$ является натуральным числом, должно выполняться неравенство $x \ge 1$.

$\frac{5 - 3y}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$5 - 3y \ge 2$

$5 - 2 \ge 3y$

$3 \ge 3y$

$1 \ge y$

Так как по условию $y$ — натуральное число ($y \ge 1$), то единственное значение, которое может принимать $y$, это $y=1$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=1$ в выражение для $x$:

$x = \frac{5 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, единственной парой натуральных чисел, удовлетворяющей уравнению, является (1; 1).

Проверка: $2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5$. Верно.

Ответ: (1; 1).

2) $x + 5y = 16$

Ищем решения в натуральных числах, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Выразим переменную $x$ из уравнения:

$x = 16 - 5y$

Так как $x$ — натуральное число, то $x \ge 1$.

$16 - 5y \ge 1$

$16 - 1 \ge 5y$

$15 \ge 5y$

$3 \ge y$

Поскольку $y$ также является натуральным числом ($y \ge 1$), возможными значениями для $y$ являются 1, 2 и 3.

Рассмотрим каждый случай методом перебора:

• Если $y = 1$, то $x = 16 - 5(1) = 16 - 5 = 11$. Получаем пару (11; 1). Оба числа натуральные.
• Если $y = 2$, то $x = 16 - 5(2) = 16 - 10 = 6$. Получаем пару (6; 2). Оба числа натуральные.
• Если $y = 3$, то $x = 16 - 5(3) = 16 - 15 = 1$. Получаем пару (1; 3). Оба числа натуральные.

Если взять следующее натуральное число $y=4$, то $x = 16 - 5(4) = -4$, что не является натуральным числом. Следовательно, других решений в натуральных числах нет.

Таким образом, уравнение имеет три пары решений в натуральных числах.

Ответ: (11; 1), (6; 2), (1; 3).