Номер 940, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 940, страница 185.

Условие.

940. Решите уравнение:

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20$;

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20$

Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть и приравняем к нулю:

$x^2 + 10y + 30 - 10x + y^2 + 20 = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, и члены, содержащие $y$, и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 10y) + 50 = 0$

Теперь выделим полные квадраты для каждой из переменных. Для этого воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $5^2 = 25$.

Для выражения с $y$: $y^2 + 10y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $5^2 = 25$.

Заметим, что свободный член уравнения равен $50$, что как раз составляет $25 + 25$. Перепишем уравнение, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 10y + 25) = 0$

Свернем выражения в скобках по формулам:

$(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 0$

Мы получили сумму двух квадратов, которая равна нулю. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю только в том случае, если каждая из них равна нулю.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 = 0 \\ (y+5)^2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x-5 = 0 \\ y+5 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 5 \\ y = -5 \end{cases}$

Ответ: $(5; -5)$.

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2 + y^2 + 4x - 2y + 3 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$:

$(4x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой группы переменных.

Для выражения с $x$: $4x^2 + 4x = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(2x+1)^2$, нужно добавить $1^2 = 1$.

Для выражения с $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(y-1)^2$, нужно добавить $1^2 = 1$.

Представим свободный член $3$ в виде суммы $1 + 1 + 1$ и перепишем уравнение, чтобы выделить полные квадраты:

$(4x^2 + 4x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 1 = 0$

Свернем выражения в скобках:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -1$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства $(2x+1)^2 \ge 0$ и $(y-1)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(2x+1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-1$. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.