Номер 947, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 947, страница 186.

Условие.

947. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении $n$ значение выражения $(5n + 10)^2 - (2n + 4)^2$ делится нацело на 84?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы проверить утверждение, необходимо упростить данное выражение и проанализировать его делимость на 84 при заданном условии.

Рассмотрим выражение $(5n + 10)^2 - (2n + 4)^2$.

Это выражение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 5n + 10$ и $b = 2n + 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$(5n + 10)^2 - (2n + 4)^2 = ((5n + 10) - (2n + 4)) \cdot ((5n + 10) + (2n + 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(5n + 10 - 2n - 4) \cdot (5n + 10 + 2n + 4) = (3n + 6) \cdot (7n + 14)$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждом из сомножителей:

$3(n + 2) \cdot 7(n + 2)$

Перемножим полученные выражения:

$21 \cdot (n + 2)^2$

По условию задачи, $n$ является натуральным чётным числом. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — любое натуральное число ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Подставим $n = 2k$ в упрощенное выражение:

$21 \cdot (2k + 2)^2$

Вынесем общий множитель 2 из скобки:

$21 \cdot (2(k + 1))^2$

Возведем в квадрат выражение в скобках:

$21 \cdot 2^2 \cdot (k + 1)^2 = 21 \cdot 4 \cdot (k + 1)^2 = 84(k + 1)^2$

Полученное выражение $84(k + 1)^2$ содержит множитель 84. Поскольку $k$ — натуральное число, то $(k + 1)^2$ также является натуральным числом. Следовательно, произведение $84(k + 1)^2$ всегда делится нацело на 84.

Таким образом, утверждение верно для любого натурального чётного значения $n$.

Ответ: да, можно утверждать, что значение выражения делится нацело на 84.