Номер 938, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 938, страница 185.

Условие.

938. Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии – 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24.

Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $x$ — количество задач по алгебре, а $y$ — количество задач по геометрии.

За каждую правильно решённую задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии — 3 балла. Максимальное количество баллов, которое можно было набрать, равно 24. Это означает, что сумма баллов за все задачи по алгебре и все задачи по геометрии равна 24. Составим уравнение на основе этих данных:

$2x + 3y = 24$

По условию задачи, было предложено хотя бы по одной задаче по каждому из предметов. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Нам необходимо найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, которые являются решением данного уравнения. Такое уравнение называется диофантовым.

Выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$:

$2x = 24 - 3y$

$x = \frac{24 - 3y}{2}$

$x = 12 - \frac{3}{2}y$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, то и выражение $12 - \frac{3}{2}y$ должно быть целым. Так как 12 — целое число, то дробь $\frac{3}{2}y$ также должна давать в результате целое число. Это возможно только в том случае, если $y$ является чётным числом, так как числитель 3 не делится на знаменатель 2.

Кроме того, мы знаем, что $x \ge 1$. Подставим выражение для $x$ в это неравенство:

$12 - \frac{3}{2}y \ge 1$

Вычтем 12 из обеих частей:

$-\frac{3}{2}y \ge -11$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{3}{2}y \le 11$

$3y \le 22$

$y \le \frac{22}{3}$

$y \le 7\frac{1}{3}$

Таким образом, мы ищем значения $y$, которые являются чётными натуральными числами и не превышают $7\frac{1}{3}$. Этим условиям удовлетворяют числа: 2, 4, 6.

Теперь найдём соответствующие значения $x$ для каждого возможного значения $y$:

1. Если $y = 2$:
$x = 12 - \frac{3 \cdot 2}{2} = 12 - 3 = 9$.
Эта пара ($x=9, y=2$) удовлетворяет всем условиям. Значит, могло быть 9 задач по алгебре и 2 по геометрии.

2. Если $y = 4$:
$x = 12 - \frac{3 \cdot 4}{2} = 12 - 6 = 6$.
Эта пара ($x=6, y=4$) также удовлетворяет всем условиям. Значит, могло быть 6 задач по алгебре и 4 по геометрии.

3. Если $y = 6$:
$x = 12 - \frac{3 \cdot 6}{2} = 12 - 9 = 3$.
Эта пара ($x=3, y=6$) тоже удовлетворяет всем условиям. Значит, могло быть 3 задачи по алгебре и 6 по геометрии.

Если взять следующее чётное число $y=8$, то $x = 12 - \frac{3 \cdot 8}{2} = 12 - 12 = 0$, что не удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Следовательно, существует три возможных варианта.

Ответ: существует три возможных варианта: 9 задач по алгебре и 2 задачи по геометрии; или 6 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии; или 3 задачи по алгебре и 6 задач по геометрии.