Номер 936, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 936, страница 185.

Условие.

936. Найдите все пары $(x; y)$ целых чисел, являющиеся решениями уравнения $x^2 + y^2 = 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения уравнения $x^2 + y^2 = 5$ в целых числах, необходимо найти все пары целых чисел $(x, y)$, которые ему удовлетворяют.

Поскольку $x$ и $y$ являются целыми числами, их квадраты, $x^2$ и $y^2$, должны быть неотрицательными целыми числами, являющимися полными квадратами (например, $0, 1, 4, 9, \dots$).

Из самого уравнения следует, что $x^2 \leq 5$ и $y^2 \leq 5$, так как ни один из квадратов не может быть отрицательным. Это означает, что возможные значения для $x^2$ и $y^2$ ограничены множеством $\{0, 1, 4\}$.

Теперь нам нужно найти два числа из этого множества, сумма которых равна 5. Проверим возможные комбинации:

• $0 + 0 = 0 \neq 5$
• $0 + 1 = 1 \neq 5$
• $0 + 4 = 4 \neq 5$
• $1 + 1 = 2 \neq 5$
• $1 + 4 = 5$
• $4 + 4 = 8 \neq 5$

Единственная комбинация, дающая в сумме 5, это 1 и 4. Следовательно, пара $\{x^2, y^2\}$ должна быть равна $\{1, 4\}$. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $x^2 = 1$ и $y^2 = 4$.
Из $x^2 = 1$ следует, что $x = 1$ или $x = -1$.
Из $y^2 = 4$ следует, что $y = 2$ или $y = -2$.
Комбинируя эти значения, мы получаем четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$ и $(-1, -2)$.

2. $x^2 = 4$ и $y^2 = 1$.
Из $x^2 = 4$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.
Из $y^2 = 1$ следует, что $y = 1$ или $y = -1$.
Комбинируя эти значения, мы получаем еще четыре пары решений: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Объединяя все найденные пары, получаем полный набор решений.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.