Номер 922, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §24. Уравнения с двумя переменными - номер 922, страница 184.

Условие.

922. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку:

1) A $(-2; 2)$;

2) B $(4; -1)$;

3) C $(0; 0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) A (-2; 2)

Чтобы составить уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, график которого проходит через заданную точку, нужно найти такое уравнение, которое обращается в верное равенство при подстановке в него координат этой точки. Для точки $A(-2; 2)$ имеем $x = -2$ и $y = 2$.

Существует бесконечное множество таких уравнений. Самый простой способ — составить линейное уравнение. Возьмем простейшую зависимость, например, сумму координат. Пусть уравнение имеет вид $x + y = c$.

Чтобы найти значение $c$, подставим координаты точки $A$ в это уравнение:

$-2 + 2 = c$

$c = 0$

Таким образом, мы получаем уравнение $x + y = 0$.

Выполним проверку: подставим $x = -2$ и $y = 2$ в полученное уравнение.

$-2 + 2 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, график уравнения $x + y = 0$ проходит через точку $A(-2; 2)$.

Ответ: $x + y = 0$

2) B (4; -1)

Для точки $B(4; -1)$ её координаты равны $x = 4$ и $y = -1$. Нам нужно найти уравнение, для которого эта пара чисел является решением.

Составим уравнение по аналогии с предыдущим пунктом, используя сумму координат. Пусть уравнение имеет вид $x + y = c$.

Подставим координаты точки $B$ для нахождения $c$:

$4 + (-1) = c$

$c = 3$

Получаем уравнение $x + y = 3$.

Проверим, подставив координаты точки $B$ в это уравнение:

$4 + (-1) = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, график уравнения $x + y = 3$ проходит через точку $B(4; -1)$.

Ответ: $x + y = 3$

3) C (0; 0)

Необходимо составить уравнение, график которого проходит через начало координат, то есть через точку $C(0; 0)$. Координаты этой точки: $x = 0$, $y = 0$.

Рассмотрим линейное уравнение в общем виде $ax + by = c$. Если график проходит через начало координат, то при подстановке $x = 0$ и $y = 0$ должно получиться верное равенство:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 = c$

$0 = c$

Это означает, что любое уравнение вида $ax + by = 0$ (где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно) проходит через начало координат. Мы можем выбрать любые коэффициенты $a$ и $b$.

Например, выберем $a = 1$ и $b = -1$. Тогда уравнение примет вид:

$1 \cdot x - 1 \cdot y = 0$

$x - y = 0$, что можно записать как $y = x$.

Проверим: подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение $y = x$.

$0 = 0$

Равенство верное. Это одно из простейших уравнений, график которого проходит через точку $C(0; 0)$.

Ответ: $y = x$