Номер 286, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 286, страница 56.

Условие.

286. Значения переменных $m$, $n$ и $p$ таковы, что $m^3n^2 = 3$, $\frac{1}{3}n^3p^2 = 5$. Найдите значение выражения:

1) $m^3n^5p^2$;

2) $2m^3n^8p^4$;

3) $-0,4m^{12}n^{11}p^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи даны два равенства: $m^3n^2 = 3$ и $\frac{1}{3}n^3p^2 = 5$.

Из второго равенства найдем значение выражения $n^3p^2$, умножив обе части на 3: $n^3p^2 = 5 \cdot 3 = 15$.

Таким образом, для решения мы будем использовать два известных значения: $m^3n^2 = 3$ и $n^3p^2 = 15$.

1) $m^3n^5p^2$
Преобразуем выражение, используя свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$. Представим $n^5$ как $n^2 \cdot n^3$: $m^3n^5p^2 = m^3n^{2+3}p^2 = m^3n^2n^3p^2$.
Сгруппируем множители так, чтобы получить известные нам выражения: $(m^3n^2) \cdot (n^3p^2)$.
Подставим известные значения и вычислим результат: $3 \cdot 15 = 45$.
Ответ: 45.

2) $2m^3n^8p^4$
Преобразуем выражение, используя свойства степеней $a^{xy} = (a^x)^y$ и $(ab)^x = a^xb^x$. $2m^3n^8p^4 = 2 \cdot m^3 \cdot n^2 \cdot n^6 \cdot p^4 = 2 \cdot (m^3n^2) \cdot (n^6p^4)$.
Выражение $n^6p^4$ можно представить как $(n^3)^2(p^2)^2$, что равно $(n^3p^2)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как: $2 \cdot (m^3n^2) \cdot (n^3p^2)^2$.
Подставим известные значения: $2 \cdot 3 \cdot (15)^2 = 6 \cdot 225 = 1350$.
Ответ: 1350.

3) $-0,4m^{12}n^{11}p^2$
Преобразуем данное выражение. Представим $m^{12}$ как $(m^3)^4$ и $n^{11}$ как $n^{8+3} = n^8 \cdot n^3$. $-0,4m^{12}n^{11}p^2 = -0,4 \cdot (m^3)^4 \cdot n^8 \cdot n^3 \cdot p^2$.
Теперь представим $n^8$ как $(n^2)^4$ и сгруппируем множители: $-0,4 \cdot (m^3)^4 \cdot (n^2)^4 \cdot (n^3p^2) = -0,4 \cdot ((m^3)(n^2))^4 \cdot (n^3p^2) = -0,4 \cdot (m^3n^2)^4 \cdot (n^3p^2)$.
Подставим известные значения и вычислим результат: $-0,4 \cdot (3)^4 \cdot 15 = -0,4 \cdot 81 \cdot 15$.
Удобнее сначала умножить $-0,4$ на $15$: $-0,4 \cdot 15 = -6$.
Теперь умножим полученный результат на $81$: $-6 \cdot 81 = -486$.
Ответ: -486.