Номер 282, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 282, страница 56.

Условие.

282. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:

1) $ (*)^2 \cdot (*)^3 = 9a^2b^3c^5; $
2) $ (*)^3 \cdot (*)^4 = 16a^7b^6c^8; $
3) $ (*)^3 \cdot (*)^2 = -72m^8n^{11}; $
4) $ (*)^2 \cdot (*)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо найти два одночлена, которые при подстановке в данное равенство обращают его в верное тождество. Обозначим искомые одночлены как $A$ и $B$. Общий подход заключается в том, чтобы представить $A$ и $B$ в виде произведений числовых коэффициентов и переменных в степенях, а затем составить и решить систему уравнений для этих коэффициентов и показателей степеней.

1)

Пусть искомые одночлены, которые нужно подставить вместо звездочек, равны $A$ и $B$. Тогда равенство примет вид:$(A)^2 \cdot (B)^3 = 9a^2b^3c^5$. Представим одночлены в общем виде: $A = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1}$ и $B = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2}$, где $k_1, k_2$ - числовые коэффициенты, а $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$ - целые неотрицательные показатели степени. Подставим их в равенство:$(k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1})^2 \cdot (k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2})^3 = 9a^2b^3c^5$$k_1^2 a^{2x_1} b^{2y_1} c^{2z_1} \cdot k_2^3 a^{3x_2} b^{3y_2} c^{3z_2} = 9a^2b^3c^5$$(k_1^2 k_2^3) a^{2x_1+3x_2} b^{2y_1+3y_2} c^{2z_1+3z_2} = 9a^2b^3c^5$Приравнивая коэффициенты и показатели степеней при одинаковых переменных в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений:

1) $k_1^2 k_2^3 = 9$ (для коэффициентов)

2) $2x_1 + 3x_2 = 2$ (для переменной $a$)

3) $2y_1 + 3y_2 = 3$ (для переменной $b$)

4) $2z_1 + 3z_2 = 5$ (для переменной $c$)

Решим уравнения для показателей степеней в целых неотрицательных числах. Из уравнения $2x_1 + 3x_2 = 2$ следует, что единственное решение - это $x_1=1, x_2=0$. Из уравнения $2y_1 + 3y_2 = 3$ следует, что единственное решение - это $y_1=0, y_2=1$. Из уравнения $2z_1 + 3z_2 = 5$ следует, что единственное решение - это $z_1=1, z_2=1$. Теперь подберем коэффициенты $k_1$ и $k_2$ из уравнения $k_1^2 k_2^3 = 9$. Простым вариантом является $k_2=1$, тогда $k_1^2 = 9$, откуда $k_1=3$. Таким образом, получаем одночлены:$A = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} = 3 a^1 b^0 c^1 = 3ac$$B = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} = 1 a^0 b^1 c^1 = bc$Проверим: $(3ac)^2 \cdot (bc)^3 = (9a^2c^2) \cdot (b^3c^3) = 9a^2b^3c^{2+3} = 9a^2b^3c^5$. Равенство выполняется.

Ответ: $3ac$ и $bc$.

2)

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Тогда равенство:$(A)^3 \cdot (B)^4 = 16a^7b^6c^8$. Представим одночлены в общем виде: $A = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1}$ и $B = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2}$. Подставим их в равенство:$(k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1})^3 \cdot (k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2})^4 = 16a^7b^6c^8$$(k_1^3 k_2^4) a^{3x_1+4x_2} b^{3y_1+4y_2} c^{3z_1+4z_2} = 16a^7b^6c^8$Получим систему уравнений:

1) $k_1^3 k_2^4 = 16$

2) $3x_1 + 4x_2 = 7$

3) $3y_1 + 4y_2 = 6$

4) $3z_1 + 4z_2 = 8$

Решим уравнения для показателей степеней в целых неотрицательных числах. Из $3x_1 + 4x_2 = 7$ следует, что $x_1=1, x_2=1$. Из $3y_1 + 4y_2 = 6$ следует, что $y_1=2, y_2=0$. Из $3z_1 + 4z_2 = 8$ следует, что $z_1=0, z_2=2$. Подберем коэффициенты $k_1$ и $k_2$ из уравнения $k_1^3 k_2^4 = 16$. Так как $16 = 2^4$, можно предположить, что $k_2=2$. Тогда $k_1^3 \cdot 2^4 = 16$, то есть $k_1^3 \cdot 16 = 16$, откуда $k_1^3=1$ и $k_1=1$. Таким образом, получаем одночлены:$A = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} = 1 a^1 b^2 c^0 = ab^2$$B = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} = 2 a^1 b^0 c^2 = 2ac^2$Проверим: $(ab^2)^3 \cdot (2ac^2)^4 = (a^3b^6) \cdot (16a^4c^8) = 16a^{3+4}b^6c^8 = 16a^7b^6c^8$. Равенство выполняется.

Ответ: $ab^2$ и $2ac^2$.

3)

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Тогда равенство:$(A)^3 \cdot (B)^2 = -72m^8n^{11}$. Представим одночлены в общем виде: $A = k_1 m^{x_1} n^{y_1}$ и $B = k_2 m^{x_2} n^{y_2}$. Подставим их в равенство:$(k_1 m^{x_1} n^{y_1})^3 \cdot (k_2 m^{x_2} n^{y_2})^2 = -72m^8n^{11}$$(k_1^3 k_2^2) m^{3x_1+2x_2} n^{3y_1+2y_2} = -72m^8n^{11}$Получим систему уравнений:

1) $k_1^3 k_2^2 = -72$

2) $3x_1 + 2x_2 = 8$

3) $3y_1 + 2y_2 = 11$

Решим уравнения для показателей степеней в целых неотрицательных числах. Из $3x_1 + 2x_2 = 8$ возможны решения $(x_1, x_2) = (2, 1)$ или $(0, 4)$. Из $3y_1 + 2y_2 = 11$ возможны решения $(y_1, y_2) = (1, 4)$ или $(3, 1)$. Подберем коэффициенты $k_1$ и $k_2$ из уравнения $k_1^3 k_2^2 = -72$. Разложим $-72$ на множители: $-72 = -8 \cdot 9 = (-2)^3 \cdot 3^2$. Отсюда удобно взять $k_1=-2$ и $k_2=3$. Выберем одну из пар решений для показателей, например, $(x_1, x_2) = (2, 1)$ и $(y_1, y_2) = (3, 1)$. Таким образом, получаем одночлены:$A = k_1 m^{x_1} n^{y_1} = -2 m^2 n^3$$B = k_2 m^{x_2} n^{y_2} = 3 m^1 n^1 = 3mn$Проверим: $(-2m^2n^3)^3 \cdot (3mn)^2 = (-8m^6n^9) \cdot (9m^2n^2) = -72m^{6+2}n^{9+2} = -72m^8n^{11}$. Равенство выполняется.

Ответ: $-2m^2n^3$ и $3mn$.

4)

Пусть искомые одночлены $A$ и $B$. Тогда равенство:$(A)^2 \cdot (B)^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$. Представим одночлены в общем виде: $A = k_1 x^{a_1} y^{b_1} z^{c_1}$ и $B = k_2 x^{a_2} y^{b_2} z^{c_2}$. Подставим их в равенство:$(k_1 x^{a_1} y^{b_1} z^{c_1})^2 \cdot (k_2 x^{a_2} y^{b_2} z^{c_2})^5 = 32x^{29}y^{21}z^9$$(k_1^2 k_2^5) x^{2a_1+5a_2} y^{2b_1+5b_2} z^{2c_1+5c_2} = 32x^{29}y^{21}z^9$Получим систему уравнений:

1) $k_1^2 k_2^5 = 32$

2) $2a_1 + 5a_2 = 29$

3) $2b_1 + 5b_2 = 21$

4) $2c_1 + 5c_2 = 9$

Подберем коэффициенты $k_1$ и $k_2$ из уравнения $k_1^2 k_2^5 = 32$. Так как $32 = 2^5$, можно предположить, что $k_2=2$. Тогда $k_1^2 \cdot 2^5 = 32$, то есть $k_1^2 \cdot 32 = 32$, откуда $k_1^2=1$ и $k_1=1$. Решим уравнения для показателей степеней в целых неотрицательных числах. Из $2a_1 + 5a_2 = 29$ одно из решений $(a_1, a_2) = (12, 1)$, так как $2 \cdot 12 + 5 \cdot 1 = 29$. Из $2b_1 + 5b_2 = 21$ одно из решений $(b_1, b_2) = (8, 1)$, так как $2 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 21$. Из $2c_1 + 5c_2 = 9$ единственное решение $(c_1, c_2) = (2, 1)$, так как $2 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9$. Таким образом, получаем одночлены:$A = k_1 x^{a_1} y^{b_1} z^{c_1} = 1 x^{12} y^8 z^2 = x^{12}y^8z^2$$B = k_2 x^{a_2} y^{b_2} z^{c_2} = 2 x^1 y^1 z^1 = 2xyz$Проверим: $(x^{12}y^8z^2)^2 \cdot (2xyz)^5 = (x^{24}y^{16}z^4) \cdot (32x^5y^5z^5) = 32x^{24+5}y^{16+5}z^{4+5} = 32x^{29}y^{21}z^9$. Равенство выполняется.

Ответ: $x^{12}y^8z^2$ и $2xyz$.