Номер 281, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 281, страница 56.

Условие.

281. Упростите выражение:

1) $20a^8 \cdot (9a)^2;$

2) $(-b^5)^4 \cdot 12b^6;$

3) $(3m^6n^8)^4 \cdot (-\frac{1}{81}m^9n);$

4) $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2;$

5) $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 \cdot (4a^6)^2;$

6) $(-\frac{2}{3}x^2y)^5 \cdot (-\frac{3}{4}xy^2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $20a^8 \cdot (9a)^2$

Сначала возведем в степень второй множитель, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$: $(9a)^2 = 9^2 \cdot a^2 = 81a^2$.

Теперь умножим $20a^8$ на полученное выражение $81a^2$. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(20 \cdot 81) \cdot (a^8 \cdot a^2) = 1620 \cdot a^{8+2} = 1620a^{10}$.

Ответ: $1620a^{10}$

2) $(-b^5)^4 \cdot 12b^6$

Возведем первый множитель в четвертую степень. Так как степень четная (4), отрицательный знак исчезает. Используем свойство степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(-b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $b^{20} \cdot 12b^6$.

Сгруппируем и перемножим степени с одинаковым основанием: $12 \cdot (b^{20} \cdot b^6) = 12 \cdot b^{20+6} = 12b^{26}$.

Ответ: $12b^{26}$

3) $(3m^6n^8)^4 \cdot (-\frac{1}{81}m^9n)$

Возведем первый множитель в четвертую степень: $(3m^6n^8)^4 = 3^4 \cdot (m^6)^4 \cdot (n^8)^4 = 81m^{24}n^{32}$.

Умножим результат на второй множитель: $81m^{24}n^{32} \cdot (-\frac{1}{81}m^9n)$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(81 \cdot (-\frac{1}{81})) \cdot (m^{24} \cdot m^9) \cdot (n^{32} \cdot n^1) = -1 \cdot m^{24+9} \cdot n^{32+1} = -m^{33}n^{33}$.

Ответ: $-m^{33}n^{33}$

4) $(0,2x^7y^8)^3 \cdot 6x^2y^2$

Возведем первый множитель в куб: $(0,2x^7y^8)^3 = (0,2)^3 \cdot (x^7)^3 \cdot (y^8)^3 = 0,008x^{21}y^{24}$.

Умножим полученное выражение на второй множитель: $0,008x^{21}y^{24} \cdot 6x^2y^2$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(0,008 \cdot 6) \cdot (x^{21} \cdot x^2) \cdot (y^{24} \cdot y^2) = 0,048 \cdot x^{21+2} \cdot y^{24+2} = 0,048x^{23}y^{26}$.

Ответ: $0,048x^{23}y^{26}$

5) $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 \cdot (4a^6)^2$

Сначала упростим каждый множитель, возведя его в степень.

Первый множитель: $(-\frac{1}{2}ab^4)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 \cdot (b^4)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^{12}$.

Второй множитель: $(4a^6)^2 = 4^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}$.

Теперь перемножим полученные выражения: $(-\frac{1}{8}a^3b^{12}) \cdot (16a^{12})$.

Группируем и перемножаем коэффициенты и степени: $(-\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot (a^3 \cdot a^{12}) \cdot b^{12} = -2 \cdot a^{3+12} \cdot b^{12} = -2a^{15}b^{12}$.

Ответ: $-2a^{15}b^{12}$

6) $(-\frac{2}{3}x^2y)^5 \cdot (-\frac{3}{4}xy^2)^2$

Сначала упростим каждый множитель, возведя его в степень.

Первый множитель: $(-\frac{2}{3}x^2y)^5 = (-\frac{2}{3})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot y^5 = -\frac{32}{243}x^{10}y^5$. Так как степень 5 нечетная, знак минус сохраняется.

Второй множитель: $(-\frac{3}{4}xy^2)^2 = (-\frac{3}{4})^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{9}{16}x^2y^4$. Так как степень 2 четная, знак минус исчезает.

Теперь перемножим полученные выражения: $(-\frac{32}{243}x^{10}y^5) \cdot (\frac{9}{16}x^2y^4)$.

Перемножим коэффициенты, сокращая дроби: $-\frac{32}{243} \cdot \frac{9}{16} = -\frac{32 \cdot 9}{243 \cdot 16} = -\frac{2 \cdot 1}{27 \cdot 1} = -\frac{2}{27}$.

Перемножим степени: $(x^{10} \cdot x^2) \cdot (y^5 \cdot y^4) = x^{10+2} \cdot y^{5+4} = x^{12}y^9$.

Соединив результаты, получаем: $-\frac{2}{27}x^{12}y^9$.

Ответ: $-\frac{2}{27}x^{12}y^9$