Номер 280, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 280, страница 56.

Условие.

280. Упростите выражение:

1) $2a^3 \cdot (-5a^4b^5)^2$;

2) $(-x^6y)^3 \cdot 11x^4y^5$;

3) $(-0,6a^3b^5c^6)^2 \cdot 3a^2c^8$;

4) $-1 \frac{3}{11}m^4n^9 \cdot (-\frac{1}{7}mn^3)^2$;

5) $1 \frac{7}{9}x^7y^2 \cdot (\frac{3}{4}x^2y^9)^4$;

6) $-(-2c^2d^5)^7 \cdot (-\frac{1}{2}c^4d^5)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для упрощения выражения $2a^3 \cdot (-5a^4b^5)^2$ сначала возведем в степень одночлен в скобках. При возведении одночлена в степень нужно возвести в эту степень каждый его множитель: $(-5a^4b^5)^2 = (-5)^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^5)^2 = 25a^{4 \cdot 2}b^{5 \cdot 2} = 25a^8b^{10}$.
Теперь выполним умножение одночленов: $2a^3 \cdot 25a^8b^{10}$. Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(2 \cdot 25) \cdot (a^3 \cdot a^8) \cdot b^{10} = 50a^{3+8}b^{10} = 50a^{11}b^{10}$.
Ответ: $50a^{11}b^{10}$

2) Для упрощения выражения $(-x^6y)^3 \cdot 11x^4y^5$ сначала возведем в степень первый одночлен: $(-x^6y)^3 = (-1)^3 \cdot (x^6)^3 \cdot y^3 = -1x^{6 \cdot 3}y^3 = -x^{18}y^3$.
Теперь умножим полученный результат на второй одночлен: $-x^{18}y^3 \cdot 11x^4y^5$. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(-1 \cdot 11) \cdot (x^{18} \cdot x^4) \cdot (y^3 \cdot y^5) = -11x^{18+4}y^{3+5} = -11x^{22}y^8$.
Ответ: $-11x^{22}y^8$

3) Для упрощения выражения $(-0,6a^3b^5c^6)^2 \cdot 3a^2c^8$ сначала возведем в степень первый одночлен: $(-0,6a^3b^5c^6)^2 = (-0,6)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2 \cdot (c^6)^2 = 0,36a^{3 \cdot 2}b^{5 \cdot 2}c^{6 \cdot 2} = 0,36a^6b^{10}c^{12}$.
Теперь выполним умножение: $0,36a^6b^{10}c^{12} \cdot 3a^2c^8$. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(0,36 \cdot 3) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot b^{10} \cdot (c^{12} \cdot c^8) = 1,08a^{6+2}b^{10}c^{12+8} = 1,08a^8b^{10}c^{20}$.
Ответ: $1,08a^8b^{10}c^{20}$

4) Для упрощения выражения $-1\frac{3}{11}m^4n^9 \cdot (-\frac{1}{7}mn^3)^2$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{3}{11} = -\frac{14}{11}$.
Затем возведем в степень одночлен в скобках: $(-\frac{1}{7}mn^3)^2 = (-\frac{1}{7})^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = \frac{1}{49}m^2n^6$.
Теперь выполним умножение: $-\frac{14}{11}m^4n^9 \cdot \frac{1}{49}m^2n^6$. Перемножим числовые коэффициенты, сократив дроби: $(-\frac{14}{11} \cdot \frac{1}{49}) = -\frac{14}{11 \cdot 49} = -\frac{2 \cdot 7}{11 \cdot 7 \cdot 7} = -\frac{2}{77}$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $m^4 \cdot m^2 = m^{4+2} = m^6$ и $n^9 \cdot n^6 = n^{9+6} = n^{15}$.
Объединим результаты: $-\frac{2}{77}m^6n^{15}$.
Ответ: $-\frac{2}{77}m^6n^{15}$

5) Для упрощения выражения $1\frac{7}{9}x^7y^2 \cdot (\frac{3}{4}x^2y^9)^4$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$.
Затем возведем в степень одночлен в скобках: $(\frac{3}{4}x^2y^9)^4 = (\frac{3}{4})^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^9)^4 = \frac{3^4}{4^4}x^{2 \cdot 4}y^{9 \cdot 4} = \frac{81}{256}x^8y^{36}$.
Теперь выполним умножение: $\frac{16}{9}x^7y^2 \cdot \frac{81}{256}x^8y^{36}$. Перемножим числовые коэффициенты, сократив дроби: $\frac{16}{9} \cdot \frac{81}{256} = \frac{16 \cdot 81}{9 \cdot 256} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 16} = \frac{9}{16}$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $x^7 \cdot x^8 = x^{7+8} = x^{15}$ и $y^2 \cdot y^{36} = y^{2+36} = y^{38}$.
Объединим результаты: $\frac{9}{16}x^{15}y^{38}$.
Ответ: $\frac{9}{16}x^{15}y^{38}$

6) Для упрощения выражения $-(-2c^2d^5)^7 \cdot (-\frac{1}{2}c^4d^5)^4$ сначала упростим каждый множитель.
Первый множитель: $-(-2c^2d^5)^7$. Возводим в 7-ю степень: $(-2)^7 = -128$; $(c^2)^7 = c^{14}$; $(d^5)^7 = d^{35}$. Получаем $-(-128c^{14}d^{35}) = 128c^{14}d^{35}$.
Второй множитель: $(-\frac{1}{2}c^4d^5)^4$. Возводим в 4-ю степень: $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$; $(c^4)^4 = c^{16}$; $(d^5)^4 = d^{20}$. Получаем $\frac{1}{16}c^{16}d^{20}$.
Теперь перемножим полученные выражения: $128c^{14}d^{35} \cdot \frac{1}{16}c^{16}d^{20}$.
Перемножим коэффициенты: $128 \cdot \frac{1}{16} = \frac{128}{16} = 8$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $c^{14} \cdot c^{16} = c^{14+16} = c^{30}$ и $d^{35} \cdot d^{20} = d^{35+20} = d^{55}$.
Объединим результаты: $8c^{30}d^{55}$.
Ответ: $8c^{30}d^{55}$