Номер 279, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 279, страница 56.

Условие.

279. Представьте одночлен $81m^4n^{16}$ в виде:

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$;

2) квадрата одночлена стандартного вида;

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$

Чтобы представить одночлен $81m^4n^{16}$ в виде произведения двух одночленов, один из которых равен $-\frac{1}{3}mn^{14}$, нужно найти второй одночлен. Обозначим его как $A$.
Тогда должно выполняться равенство:
$A \cdot (-\frac{1}{3}mn^{14}) = 81m^4n^{16}$
Чтобы найти $A$, разделим исходный одночлен на известный множитель:
$A = \frac{81m^4n^{16}}{-\frac{1}{3}mn^{14}}$
Выполним деление по частям. Сначала разделим числовые коэффициенты:
$81 \div (-\frac{1}{3}) = 81 \cdot (-3) = -243$
Теперь разделим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:
$m^4 \div m^1 = m^{4-1} = m^3$
$n^{16} \div n^{14} = n^{16-14} = n^2$
Таким образом, второй одночлен $A$ равен $-243m^3n^2$.
Искомое представление в виде произведения: $(-243m^3n^2) \cdot (-\frac{1}{3}mn^{14})$.

Ответ: $(-243m^3n^2) \cdot (-\frac{1}{3}mn^{14})$.

2) квадрата одночлена стандартного вида

Чтобы представить одночлен $81m^4n^{16}$ в виде квадрата другого одночлена, нужно найти этот одночлен, извлекая квадратный корень из исходного выражения. Обозначим искомый одночлен как $B$.
$B^2 = 81m^4n^{16}$
$B = \sqrt{81m^4n^{16}}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{m^4} = m^{\frac{4}{2}} = m^2$
$\sqrt{n^{16}} = n^{\frac{16}{2}} = n^8$
Следовательно, искомый одночлен в стандартном виде равен $9m^2n^8$.
Тогда представление исходного одночлена в виде квадрата будет: $(9m^2n^8)^2$.

Ответ: $(9m^2n^8)^2$.

3) четвёртой степени одночлена стандартного вида

Чтобы представить одночлен $81m^4n^{16}$ в виде четвёртой степени другого одночлена, нужно найти этот одночлен, извлекая корень четвёртой степени из исходного выражения. Обозначим искомый одночлен как $C$.
$C^4 = 81m^4n^{16}$
$C = \sqrt[4]{81m^4n^{16}}$
Извлечем корень четвёртой степени из каждого множителя:
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
$\sqrt[4]{m^4} = m^{\frac{4}{4}} = m$
$\sqrt[4]{n^{16}} = n^{\frac{16}{4}} = n^4$
Следовательно, искомый одночлен в стандартном виде равен $3mn^4$.
Тогда представление исходного одночлена в виде четвёртой степени будет: $(3mn^4)^4$.

Ответ: $(3mn^4)^4$.