Номер 285, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 285, страница 56.

Условие.

285. Значения переменных $a, b$ и $c$ таковы, что $2a^2b = 7$, $a^3c^2 = 2$. Найдите значение выражения:

1) $6a^5bc^2$;

2) $a^7b^2c^2$;

3) $2\frac{1}{7}a^8bc^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи даны два равенства: $2a^2b = 7$ и $a^3c^2 = 2$. Используем эти равенства для нахождения значений предложенных выражений.

1) $6a^5bc^2$

Чтобы найти значение этого выражения, преобразуем его, выделив известные нам множители. Для этого представим $a^5$ как произведение $a^2 \cdot a^3$.
$6a^5bc^2 = 6 \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot b \cdot c^2$
Теперь сгруппируем переменные так, чтобы получились выражения $2a^2b$ и $a^3c^2$:
$6 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c^2 = 3 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot a^3 \cdot c^2 = 3 \cdot (2a^2b) \cdot (a^3c^2)$
Подставим в полученное выражение известные значения ($2a^2b = 7$ и $a^3c^2 = 2$):
$3 \cdot 7 \cdot 2 = 42$
Ответ: 42

2) $a^7b^2c^2$

Для решения этого пункта нам понадобятся выражения, содержащие $b^2$ и $c^2$. Второе данное равенство $a^3c^2 = 2$ уже содержит $c^2$. Чтобы получить $b^2$, возведем в квадрат первое данное равенство:
$(2a^2b)^2 = 7^2$
$4a^4b^2 = 49$, откуда получаем $a^4b^2 = \frac{49}{4}$.
Теперь преобразуем искомое выражение $a^7b^2c^2$. Представим $a^7$ как $a^4 \cdot a^3$:
$a^7b^2c^2 = a^4 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a^4b^2) \cdot (a^3c^2)$
Подставим известные и найденные значения:
$\frac{49}{4} \cdot 2 = \frac{49}{2} = 24,5$
Ответ: 24,5

3) $2\frac{1}{7}a^8bc^4$

Сначала переведем смешанную дробь $2\frac{1}{7}$ в неправильную: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
Выражение принимает вид: $\frac{15}{7}a^8bc^4$. Нам нужно получить множители, содержащие $b$ и $c^4$.
Из первого равенства $2a^2b = 7$ выразим $a^2b = \frac{7}{2}$.
Чтобы получить $c^4$, возведем в квадрат второе равенство $a^3c^2 = 2$:
$(a^3c^2)^2 = 2^2$
$a^6c^4 = 4$.
Теперь преобразуем искомое выражение, представив $a^8$ как $a^2 \cdot a^6$:
$\frac{15}{7}a^8bc^4 = \frac{15}{7} \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot b \cdot c^4 = \frac{15}{7} \cdot (a^2b) \cdot (a^6c^4)$
Подставим полученные значения $a^2b = \frac{7}{2}$ и $a^6c^4 = 4$:
$\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{2} \cdot 4 = 15 \cdot \frac{4}{2} = 15 \cdot 2 = 30$
Ответ: 30