Номер 291, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 291, страница 57.

Условие.

291. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Условие, что белая и чёрная ладьи не бьют друг друга, означает, что они должны находиться на разных горизонталях (строках) и одновременно на разных вертикалях (столбцах) шахматной доски. Стандартная шахматная доска имеет размер $8 \times 8$, то есть состоит из 64 клеток. Задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Последовательное размещение

Этот метод заключается в последовательном размещении фигур на доске с учётом всех ограничений на каждом шаге.

1. Сначала разместим белую ладью. Для неё существует 64 возможных положения, так как можно выбрать любую клетку доски.

2. После того как белая ладья поставлена, она "атакует" все клетки в своей строке и в своём столбце. Чтобы чёрная ладья не била белую, её нужно поставить на клетку, которая не находится в той же строке и в том же столбце. На доске 8 строк и 8 столбцов. Таким образом, для размещения чёрной ладьи остаётся $8-1=7$ свободных строк и $8-1=7$ свободных столбцов. Количество доступных для неё клеток равно $7 \times 7 = 49$.

3. По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для белой ладьи на число доступных вариантов для чёрной ладьи: $N = 64 \times 49 = 3136$.

Способ 2: Метод исключения

Этот метод заключается в том, чтобы найти общее число всех возможных расстановок двух ладей, а затем вычесть из него число "неправильных" расстановок (когда они бьют друг друга).

1. Сначала найдём общее число всех расстановок. Белую ладью можно поставить на 64 клетки, а чёрную (поскольку она должна стоять на другой клетке) — на любую из 63 оставшихся. Общее число способов разместить две разные ладьи: $N_{общ} = 64 \times 63 = 4032$.

2. Теперь найдём число расстановок, когда ладьи бьют друг друга. Это происходит, если они стоят на одной горизонтали или на одной вертикали.

- Ладьи на одной горизонтали: Сначала выбираем горизонталь (8 способов). На этой горизонтали из 8 клеток нужно разместить две разные ладьи. Число способов для этого равно числу размещений из 8 по 2: $A_8^2 = 8 \times 7 = 56$. Общее число таких позиций: $8 \times 56 = 448$.

- Ладьи на одной вертикали: Аналогично, выбираем вертикаль (8 способов) и размещаем на ней две ладьи ($A_8^2 = 56$ способов). Общее число таких позиций: $8 \times 56 = 448$.

Общее число "неправильных" расстановок равно сумме этих двух непересекающихся случаев: $N_{непр} = 448 + 448 = 896$.

3. Искомое число способов равно разности общего числа расстановок и числа "неправильных": $N = N_{общ} - N_{непр} = 4032 - 896 = 3136$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3136