Номер 289, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §7. Одночлены - номер 289, страница 57.

Условие.

289. Замените звёздочки такими цифрами, чтобы:

1) число $ *5* $ делилось нацело на 3 и на 10;

2) число $ 13*2* $ делилось нацело на 9 и на 5;

3) число $ 58* $ делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) число *5* делилось нацело на 3 и на 10;

Для того чтобы число делилось нацело на 10, оно должно оканчиваться на 0. Следовательно, вторая звёздочка — это 0, и число имеет вид `*50`.
Для того чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Пусть первая звёздочка — это цифра `x`. Так как это первая цифра числа, она не может быть нулём, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
Сумма цифр числа `x50` равна $x + 5 + 0 = x + 5$.
Нам нужно найти такие `x`, чтобы сумма $(x + 5)$ делилась на 3. Переберём возможные значения `x`:

• Если $x = 1$, сумма равна $1 + 5 = 6$. 6 делится на 3. Получаем число 150.
• Если $x = 2$, сумма равна $2 + 5 = 7$. 7 не делится на 3.
• Если $x = 3$, сумма равна $3 + 5 = 8$. 8 не делится на 3.
• Если $x = 4$, сумма равна $4 + 5 = 9$. 9 делится на 3. Получаем число 450.
• Если $x = 5$, сумма равна $5 + 5 = 10$. 10 не делится на 3.
• Если $x = 6$, сумма равна $6 + 5 = 11$. 11 не делится на 3.
• Если $x = 7$, сумма равна $7 + 5 = 12$. 12 делится на 3. Получаем число 750.
• Если $x = 8$, сумма равна $8 + 5 = 13$. 13 не делится на 3.
• Если $x = 9$, сумма равна $9 + 5 = 14$. 14 не делится на 3.

Таким образом, подходят три числа.
Ответ: 150, 450, 750.

2) число 13*2* делилось нацело на 9 и на 5;

Для того чтобы число делилось нацело на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Это означает, что вторая звёздочка может быть либо 0, либо 5.
Для того чтобы число делилось нацело на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Пусть первая звёздочка — это цифра `x`.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Последняя цифра равна 0. Число имеет вид `13x20`.
Сумма его цифр: $1 + 3 + x + 2 + 0 = 6 + x$.
Эта сумма должна делиться на 9. Так как $x$ — это цифра от 0 до 9, то $6 \le 6 + x \le 15$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это 9. $6 + x = 9 \implies x = 3$.
Получаем число 13320.
Случай 2: Последняя цифра равна 5. Число имеет вид `13x25`.
Сумма его цифр: $1 + 3 + x + 2 + 5 = 11 + x$.
Эта сумма должна делиться на 9. Так как $x$ — это цифра от 0 до 9, то $11 \le 11 + x \le 20$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это 18. $11 + x = 18 \implies x = 7$.
Получаем число 13725.
Таким образом, существует два возможных решения.
Ответ: 13320, 13725.

3) число 58* делилось нацело на 2 и на 3.

Для того чтобы число делилось нацело на 2, его последняя цифра должна быть чётной (0, 2, 4, 6, 8).
Для того чтобы число делилось нацело на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Пусть звёздочка — это цифра `x`.
Сумма цифр числа `58x` равна $5 + 8 + x = 13 + x$.
Нам нужно найти такие чётные цифры `x`, чтобы сумма $(13 + x)$ делилась на 3. Переберём возможные значения `x`:

• Если $x = 0$ (чётная), сумма равна $13 + 0 = 13$. 13 не делится на 3.
• Если $x = 2$ (чётная), сумма равна $13 + 2 = 15$. 15 делится на 3. Получаем число 582.
• Если $x = 4$ (чётная), сумма равна $13 + 4 = 17$. 17 не делится на 3.
• Если $x = 6$ (чётная), сумма равна $13 + 6 = 19$. 19 не делится на 3.
• Если $x = 8$ (чётная), сумма равна $13 + 8 = 21$. 21 делится на 3. Получаем число 588.

Таким образом, подходят два числа.
Ответ: 582, 588.