Номер 305, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §8. Многочлены - номер 305, страница 61.

Условие.

305. Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Докажите, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дано $n$ планет, которые мы можем обозначить как точки в пространстве $P_1, P_2, \dots, P_n$. Расстояние между любыми двумя планетами $P_i$ и $P_j$ обозначим как $d(P_i, P_j)$. Согласно условию задачи, все эти расстояния являются попарно различными. Это означает, что если мы рассмотрим все возможные пары планет, то расстояния между ними будут составлять набор уникальных положительных чисел.

Поскольку количество планет конечно, количество пар планет также конечно. Следовательно, существует конечное число различных расстояний между ними. В любом конечном наборе различных чисел всегда можно найти наименьшее.

Выберем пару планет, расстояние между которыми является минимальным из всех возможных расстояний между любыми двумя планетами в этой системе. Обозначим эти две планеты как $A$ и $B$. Таким образом, расстояние $d(A, B)$ является наименьшим: $d(A, B) = \min \{d(P_i, P_j) \mid i \neq j\}$.

Теперь рассмотрим, какую планету изучает астроном, находящийся на планете $A$. По условию, он изучает ближайшую к $A$ планету. Для этого нам нужно сравнить расстояние от $A$ до $B$ с расстоянием от $A$ до любой другой планеты $C$ (где $C$ — любая планета, отличная от $A$ и $B$).

По нашему выбору, $d(A, B)$ — это самое маленькое расстояние в системе. Любое другое расстояние, например $d(A, C)$, должно быть больше, поскольку все расстояния попарно различны. Таким образом, для любой планеты $C \neq B$, выполняется неравенство $d(A, C) > d(A, B)$. Это означает, что планета $B$ является единственной ближайшей планетой к планете $A$. Следовательно, астроном на планете $A$ изучает планету $B$.

Аналогично рассмотрим, какую планету изучает астроном на планете $B$. Он также изучает ближайшую к себе планету. Сравним расстояние от $B$ до $A$ с расстоянием от $B$ до любой другой планеты $D$ (где $D$ — любая планета, отличная от $A$ и $B$).

Расстояние $d(B, A)$ равно расстоянию $d(A, B)$, которое является минимальным в системе. Поэтому для любой планеты $D \neq A$, выполняется неравенство $d(B, D) > d(B, A)$. Это означает, что планета $A$ является единственной ближайшей планетой к планете $B$. Следовательно, астроном на планете $B$ изучает планету $A$.

Мы установили, что астроном с планеты $A$ изучает планету $B$, а астроном с планеты $B$ изучает планету $A$. Таким образом, на этих двух планетах астрономы изучают друг друга, что и требовалось доказать.

Ответ: Существование двух планет, на которых астрономы изучают друг друга, доказано.