Номер 344, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 344, страница 66.

Условие.

344. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111;

Представим каждое трехзначное число в виде суммы разрядных слагаемых. В числе $\overline{abc}$, a — это количество сотен, b — количество десятков, а c — количество единиц.

$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Аналогично для других чисел:

$\overline{bca} = 100 \cdot b + 10 \cdot c + a$

$\overline{cab} = 100 \cdot c + 10 \cdot a + b$

Теперь найдем сумму этих трех чисел:

$S = \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными (a, b, c):

$S = (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c)$

$S = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$S = 111 \cdot (a + b + c)$

Поскольку сумма представляет собой произведение числа 111 и целого числа $(a + b + c)$, она всегда будет делиться на 111 без остатка. Следовательно, сумма чисел $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ кратна 111.

Ответ: Доказано.

2) разность числа $\overline{abc}$ и суммы его цифр делится нацело на 9.

Запишем число $\overline{abc}$ в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Сумма его цифр равна $a + b + c$.

Найдем разность между числом и суммой его цифр:

$D = \overline{abc} - (a + b + c) = (100a + 10b + c) - (a + b + c)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 100a + 10b + c - a - b - c = (100a - a) + (10b - b) + (c - c)$

$D = 99a + 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$D = 9 \cdot (11a + b)$

Так как a и b — это цифры, то выражение $(11a + b)$ является целым числом. Следовательно, разность $D$ является произведением числа 9 и целого числа, а значит, она всегда делится нацело на 9.

Ответ: Доказано.