Номер 340, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 340, страница 65.

Условие.

340. Докажите, что выражение $(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y$ принимает положительное значение при любом значении $y$. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении $y$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$(7y^2 - 9y + 8) - (3y^2 - 6y + 4) + 3y = 7y^2 - 9y + 8 - 3y^2 + 6y - 4 + 3y$
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $y$:
$(7y^2 - 3y^2) + (-9y + 6y + 3y) + (8 - 4) = 4y^2 + 0y + 4 = 4y^2 + 4$

Докажите, что выражение принимает положительное значение при любом значении y

После упрощения мы получили выражение $4y^2 + 4$.
Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Умножение на положительное число 4 не меняет знака неравенства, поэтому $4y^2 \ge 0$.
Прибавляя 4 к обеим частям неравенства, получаем:
$4y^2 + 4 \ge 4$
Поскольку выражение всегда больше или равно 4, оно всегда является положительным числом при любом значении $y$.
Ответ: Утверждение доказано, так как упрощенное выражение $4y^2 + 4 \ge 4$, а значит, оно всегда положительно.

Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y?

Как было показано выше, значение выражения $4y^2 + 4$ всегда больше или равно 4.
Это означает, что наименьшее значение, которое может принять выражение, равно 4.
Это наименьшее значение достигается тогда, когда слагаемое $4y^2$ принимает свое минимально возможное значение, равное 0.
Найдем значение $y$, при котором это происходит:
$4y^2 = 0$
$y^2 = 0$
$y = 0$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 4 и достигается при $y = 0$.
Ответ: Наименьшее значение выражения равно 4 при $y=0$.