Номер 335, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 335, страница 65.

Условие.

335. Докажите, что значение разности двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$, где $m$ и $n$ – произвольные натуральные числа, делится нацело на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо составить разность данных двучленов и упростить полученное выражение.

Запишем разность двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$:

$(13m + 20n) - (7m + 2n)$

Раскроем скобки. При раскрытии второй скобки знаки слагаемых изменятся на противоположные, так как перед ней стоит знак минус:

$13m + 20n - 7m - 2n$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(13m - 7m) + (20n - 2n) = 6m + 18n$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$6m + 18n = 6(m + 3n)$

По условию, $m$ и $n$ являются произвольными натуральными числами. Поскольку сумма и произведение натуральных чисел всегда являются натуральными числами, выражение в скобках $(m + 3n)$ также будет натуральным числом при любых натуральных $m$ и $n$.

Полученное выражение $6(m + 3n)$ представляет собой произведение числа 6 и натурального числа $(m + 3n)$. По определению делимости, любое число, которое можно представить в виде произведения числа 6 и целого числа, делится нацело на 6.

Следовательно, значение разности двучленов делится нацело на 6 при любых натуральных значениях $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность двучленов равна $6(m + 3n)$. Так как один из множителей равен 6, а второй множитель $(m+3n)$ является целым числом при натуральных $m$ и $n$, то все выражение делится нацело на 6.