Номер 330, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 330, страница 65.

Условие.

330. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 9) - (5 - 2n)$ при делении на 7 даёт остаток, равный 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать данное утверждение, необходимо сначала упростить исходное выражение.

Раскроем скобки в выражении $(5n + 9) - (5 - 2n)$:

$(5n + 9) - (5 - 2n) = 5n + 9 - 5 + 2n$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(5n + 2n) + (9 - 5) = 7n + 4$

Мы получили выражение $7n + 4$. Теперь нужно проанализировать его значение при делении на 7. По условию, $n$ — любое натуральное число.

Выражение $7n + 4$ состоит из двух слагаемых: $7n$ и $4$.

Слагаемое $7n$ представляет собой произведение числа 7 и натурального числа $n$. Любое такое произведение делится на 7 нацело (без остатка).

Слагаемое $4$ при делении на 7 дает в остатке 4.

Таким образом, все выражение $7n + 4$ можно представить в виде, который соответствует определению деления с остатком: $a = bq + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. В нашем случае:

$7n + 4 = 7 \cdot n + 4$

Здесь делитель равен 7, неполное частное равно $n$, а остаток равен 4. Это верно для любого натурального $n$.

Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 9) - (5 - 2n)$ при делении на 7 даёт остаток, равный 4. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.