Номер 342, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 342, страница 66.

Условие.

342. Докажите, что:

1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;

2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;

3) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4;

4) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$. Сумма этих трёх чисел равна: $S = n + (n+1) + (n+2)$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $S = 3n + 3$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(n+1)$ Поскольку $n$ является натуральным числом, то и $n+1$ является натуральным числом. Произведение $3(n+1)$ имеет множитель 3, следовательно, оно всегда кратно 3.

Ответ: Сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3, что и требовалось доказать.

2) Пусть первое из семи последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда последовательность чисел имеет вид: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6$. Найдём их сумму: $S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6)$ Сгруппируем слагаемые: $S = 7n + (1+2+3+4+5+6)$ $S = 7n + 21$ Вынесем общий множитель 7 за скобки: $S = 7(n+3)$ Так как $n$ - натуральное число, то $n+3$ также является натуральным числом. Выражение $7(n+3)$ является произведением числа 7 и натурального числа, следовательно, оно всегда делится нацело на 7.

Ответ: Сумма семи последовательных натуральных чисел всегда делится нацело на 7, что и требовалось доказать.

3) Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k$ - натуральное число. Пусть первое из четырёх последовательных чётных натуральных чисел равно $2k$. Тогда следующие три чётных числа будут $2k+2$, $2k+4$ и $2k+6$. Сумма этих четырёх чисел равна: $S = 2k + (2k+2) + (2k+4) + (2k+6)$ Упростим выражение: $S = 8k + 12$ Вынесем общий множитель 4 за скобки: $S = 4(2k+3)$ Так как $k$ - натуральное число, то $2k+3$ также является натуральным числом. Полученное произведение $4(2k+3)$ содержит множитель 4, следовательно, оно всегда делится нацело на 4.

Ответ: Сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 4, что и требовалось доказать.

4) Пусть первое из пяти последовательных чётных натуральных чисел равно $2k$, где $k$ - натуральное число. Тогда эти пять чисел можно записать как: $2k, 2k+2, 2k+4, 2k+6, 2k+8$. Найдём их сумму: $S = 2k + (2k+2) + (2k+4) + (2k+6) + (2k+8)$ Упростим выражение: $S = 10k + (2+4+6+8)$ $S = 10k + 20$ Вынесем общий множитель 10 за скобки: $S = 10(k+2)$ Так как $k$ - натуральное число, то $k+2$ также является натуральным числом. Произведение $10(k+2)$ содержит множитель 10, следовательно, оно всегда делится нацело на 10.

Ответ: Сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел всегда делится нацело на 10, что и требовалось доказать.