Номер 338, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 338, страница 65.

Условие.

338. Представьте многочлен $3x^2 + 10x - 5$ в виде разности двучлена и трёхчлена.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы представить многочлен $9x^2 + 10x - 5$ в виде разности двучлена и трёхчлена, необходимо найти двучлен $B(x)$ и трёхчлен $T(x)$ такие, что выполняется равенство: $9x^2 + 10x - 5 = B(x) - T(x)$.

Данная задача имеет множество решений. Один из способов её решения — это прибавить к исходному многочлену некоторый трёхчлен $T(x)$ и сразу же его вычесть. Это не изменит значения исходного выражения.
$9x^2 + 10x - 5 = (9x^2 + 10x - 5 + T(x)) - T(x)$

Теперь выражение в скобках обозначим как $B(x)$. Нам нужно подобрать трёхчлен $T(x)$ таким образом, чтобы $B(x) = 9x^2 + 10x - 5 + T(x)$ стало двучленом.

Исходный многочлен $9x^2 + 10x - 5$ является трёхчленом. Чтобы сумма $B(x)$ стала двучленом, один из её членов (квадратичный, линейный или свободный) должен обратиться в ноль. Подберём $T(x)$ так, чтобы сократить один из членов исходного многочлена. Например, чтобы сократить свободный член $-5$, трёхчлен $T(x)$ должен содержать слагаемое $+5$.

Выберем в качестве $T(x)$ произвольный трёхчлен, содержащий $+5$. Например, пусть $T(x) = x^2 + 2x + 5$.

Теперь найдём двучлен $B(x)$:
$B(x) = 9x^2 + 10x - 5 + T(x) = (9x^2 + 10x - 5) + (x^2 + 2x + 5)$
$B(x) = (9x^2 + x^2) + (10x + 2x) + (-5 + 5) = 10x^2 + 12x$.
Выражение $10x^2 + 12x$ является двучленом.

Таким образом, мы представили исходный многочлен в виде разности двучлена $B(x) = 10x^2 + 12x$ и трёхчлена $T(x) = x^2 + 2x + 5$:
$9x^2 + 10x - 5 = (10x^2 + 12x) - (x^2 + 2x + 5)$.

Выполним проверку, раскрыв скобки:
$(10x^2 + 12x) - (x^2 + 2x + 5) = 10x^2 + 12x - x^2 - 2x - 5 = 9x^2 + 10x - 5$.
Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(10x^2 + 12x) - (x^2 + 2x + 5)$.