Номер 345, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 345, страница 66.

Условие.

345. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых многочлены $5x^2 - 6xy - 7y^2$ и $-3x^2 + 6xy + 8y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие значения $x$ и $y$, при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения. То есть, одновременно выполняются два неравенства:

$5x^2 - 6xy - 7y^2 < 0$

$-3x^2 + 6xy + 8y^2 < 0$

Если два числа отрицательны, то их сумма также должна быть отрицательной. Сложим левые части этих неравенств, чтобы найти сумму многочленов:

$(5x^2 - 6xy - 7y^2) + (-3x^2 + 6xy + 8y^2) = 5x^2 - 3x^2 - 6xy + 6xy - 7y^2 + 8y^2 = 2x^2 + y^2$

Таким образом, сумма двух многочленов равна $2x^2 + y^2$. Проанализируем это выражение. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$. Соответственно, слагаемое $2x^2$ также всегда неотрицательно ($2x^2 \ge 0$). Сумма двух неотрицательных слагаемых ($2x^2$ и $y^2$) не может быть отрицательной, то есть $2x^2 + y^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

Мы получили противоречие. Из нашего предположения следовало бы, что сумма многочленов отрицательна, но мы показали, что их сумма $2x^2 + y^2$ всегда неотрицательна. Следовательно, наше предположение неверно, и не существует таких $x$ и $y$, при которых оба многочлена были бы отрицательными.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма данных многочленов равна $2x^2 + y^2$, что является неотрицательным выражением при любых действительных значениях $x$ и $y$. Если бы оба многочлена были отрицательными, их сумма также была бы отрицательной. Это приводит к противоречию, поскольку $2x^2 + y^2 \ge 0$.