Номер 339, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 339, страница 65.

Условие.

339. Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении $x$.
Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Докажите, что выражение $(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4)$ принимает отрицательное значение при любом значении x.

Для начала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(2x^4 + 4x - 1) - (x^2 + 8 + 9x) + (5x + x^2 - 3x^4) = 2x^4 + 4x - 1 - x^2 - 8 - 9x + 5x + x^2 - 3x^4$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$:

$(2x^4 - 3x^4) + (-x^2 + x^2) + (4x - 9x + 5x) + (-1 - 8)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$-x^4 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 9 = -x^4 - 9$

Теперь проанализируем полученное выражение $-x^4 - 9$.

Поскольку степень 4 является четным числом, выражение $x^4$ всегда будет неотрицательным при любом действительном значении $x$, то есть $x^4 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-x^4$ будет неположительным: $-x^4 \le 0$.

Вычитая 9 из неположительного числа, мы всегда будем получать значение, которое меньше или равно -9:

$-x^4 - 9 \le -9$

Так как $-9 < 0$, то и значение всего выражения $-x^4 - 9$ всегда отрицательно, что и требовалось доказать.

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $-x^4 - 9$. Поскольку $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то $-x^4 - 9 \le -9$, что доказывает, что выражение всегда отрицательно.

Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x?

Как было найдено ранее, данное выражение тождественно равно $-x^4 - 9$.

Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо, чтобы вычитаемое $x^4$ было наименьшим.

Наименьшее значение выражения $x^4$ равно 0, и оно достигается при $x = 0$.

При этом значении $x$ выражение $-x^4$ принимает свое наибольшее значение, равное 0.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения будет:

$-(0)^4 - 9 = 0 - 9 = -9$

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-9$ и достигается при $x = 0$.