Номер 341, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 341, страница 66.

Условие.

341. Докажите, что:

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6;

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8;

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;

Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$. Найдем их сумму $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$S = 5(n+2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ также является натуральным числом. Произведение $5(n+2)$ содержит множитель 5, следовательно, оно делится нацело на 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6;

Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — натуральное число. Обозначим первое из трёх последовательных чётных натуральных чисел как $2k$. Тогда следующие два чётных числа будут $2k+2$ и $2k+4$. Найдем их сумму $S$:

$S = 2k + (2k+2) + (2k+4)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (2k+2k+2k) + (0+2+4) = 6k + 6$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$S = 6(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $6(k+1)$ содержит множитель 6, следовательно, оно делится нацело на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8;

Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2k-1$, где $k$ — натуральное число. Обозначим первое из четырёх последовательных нечётных натуральных чисел как $2k-1$. Тогда следующие три нечётных числа будут $2k+1$, $2k+3$ и $2k+5$. Найдем их сумму $S$:

$S = (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (2k+2k+2k+2k) + (-1+1+3+5) = 8k + 8$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S = 8(k+1)$

Поскольку $k$ — натуральное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Произведение $8(k+1)$ содержит множитель 8, следовательно, оно делится нацело на 8. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;

Обозначим первое из четырёх последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда следующие три числа будут $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Найдем их сумму $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (n+n+n+n) + (0+1+2+3) = 4n + 6$

Представим полученное выражение в виде $S = 4(n+1) + 2$.

Выражение $4(n+1)$ делится нацело на 4. Если к числу, делящемуся на 4, прибавить 2, то результат при делении на 4 даст остаток 2. Следовательно, сумма $4(n+1)+2$ не делится нацело на 4. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.

Обозначим первое из шести последовательных натуральных чисел как $n$. Тогда следующие пять чисел будут $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ и $n+5$. Найдем их сумму $S$:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (n+n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4+5) = 6n + 15$

Чтобы найти остаток от деления суммы $S$ на 6, представим слагаемое 15 в виде $15 = 2 \cdot 6 + 3$:

$S = 6n + 12 + 3 = 6(n+2) + 3$

Выражение $6(n+2)$ делится нацело на 6. Следовательно, при делении всей суммы $S$ на 6 остаток будет равен 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.