Номер 343, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 343, страница 66.

Условие.

343. Докажите, что:

1) сумма чисел $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ делится нацело на 11;

2) разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ делится нацело на 99.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)
Чтобы доказать, что сумма чисел $\overline{ab}$, $\overline{bc}$ и $\overline{ca}$ делится нацело на 11, представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых. В этих числах $a, b, c$ - это цифры, причем, поскольку они стоят на первом месте в двузначных числах, они не могут быть равны нулю.
$\overline{ab} = 10a + b$
$\overline{bc} = 10b + c$
$\overline{ca} = 10c + a$
Теперь найдем сумму этих чисел:
$\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca} = (10a + b) + (10b + c) + (10c + a)$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:
$(10a + a) + (b + 10b) + (c + 10c) = 11a + 11b + 11c$
Вынесем общий множитель 11 за скобки:
$11(a + b + c)$
Поскольку $a, b$ и $c$ являются цифрами (целыми числами), их сумма $(a + b + c)$ также является целым числом. Полученное выражение представляет собой произведение числа 11 на целое число, а такое произведение всегда делится на 11 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что сумма чисел $\overline{ab} + \overline{bc} + \overline{ca}$ всегда делится нацело на 11.
Ответ: Доказано.

2)
Чтобы доказать, что разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ делится нацело на 99, представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых. В этих числах $a, b, c$ - это цифры, причем $a \neq 0$ и $c \neq 0$.
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
$\overline{cba} = 100c + 10b + a$
Теперь найдем разность этих чисел:
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$
Упростим выражение:
$99a + 0 - 99c = 99a - 99c$
Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$
Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами (целыми числами), их разность $(a - c)$ также является целым числом. Полученное выражение представляет собой произведение числа 99 на целое число, а такое произведение всегда делится на 99 без остатка.
Таким образом, мы доказали, что разность чисел $\overline{abc} - \overline{cba}$ всегда делится нацело на 99.
Ответ: Доказано.