Номер 354, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §9. Сложение и вычитание многочленов - номер 354, страница 67.

Условие.

354. Саша и Вася записывают 30-значное число, используя только цифры 1; 2; 3; 4; 5. Первую цифру пишет Саша, вторую – Вася и т. д. Вася хочет получить число, кратное 9. Сможет ли Саша ему помешать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы число было кратно 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Саша и Вася по очереди записывают 30-значное число. Саша ставит цифры на нечетные позиции (1-ю, 3-ю, ..., 29-ю), а Вася — на четные (2-ю, 4-ю, ..., 30-ю). Всего каждый из них делает по 15 ходов. Цель Васи — сделать так, чтобы итоговая сумма всех 30 цифр была кратна 9. Саша пытается ему помешать.

Рассмотрим стратегию, которая позволит Васе всегда добиваться своей цели, независимо от ходов Саши. Вася может мысленно разбить игру на 15 раундов, каждый из которых состоит из хода Саши и ответного хода Васи.

Пусть $s_k$ — цифра, которую Саша ставит в $k$-м раунде (на позицию $2k-1$), а $v_k$ — цифра, которую Вася ставит в ответ (на позицию $2k$).

У Васи есть выигрышная стратегия. На первые 14 своих ходов (в раундах с 1-го по 14-й) Вася придерживается простого правила: если Саша ставит цифру $s_k$, то Вася ставит цифру $v_k = 6 - s_k$. Этот ход всегда возможен, так как если Саша выбирает цифру из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, то и ответная цифра Васи будет принадлежать этому же множеству. Например, если Саша ставит 1, Вася ставит 5; если Саша ставит 2, Вася ставит 4, и так далее. В каждом случае сумма цифр в паре будет равна 6.

Таким образом, после 28 ходов (14 ходов Саши и 14 ответных ходов Васи) общая сумма цифр составит $S_{28} = 14 \times 6 = 84$.

Далее наступает 15-й, последний, раунд. Сначала Саша делает свой последний ход и ставит цифру $s_{15}$. Сумма 29 цифр становится равной $S_{29} = 84 + s_{15}$.

Теперь последний ход делает Вася. Он должен выбрать цифру $v_{15}$ так, чтобы итоговая сумма $S = S_{29} + v_{15} = 84 + s_{15} + v_{15}$ была кратна 9.

Проверим, может ли он это сделать при любом ходе Саши. Условие кратности 9 для итоговой суммы: $84 + s_{15} + v_{15} \equiv 0 \pmod{9}$. Поскольку $84 = 9 \times 9 + 3$, то остаток от деления 84 на 9 равен 3, то есть $84 \equiv 3 \pmod{9}$. Следовательно, условие принимает вид: $3 + s_{15} + v_{15} \equiv 0 \pmod{9}$. Отсюда Вася может найти, какую цифру ему нужно поставить: $v_{15} \equiv -3 - s_{15} \pmod{9}$.

Рассмотрим все возможные ходы Саши на 15-м шаге. Если Саша выбирает $s_{15} = 1$, Васе нужна цифра $v_{15}$ с остатком $-3 - 1 = -4 \equiv 5 \pmod{9}$, то есть Вася ставит 5. Если Саша выбирает $s_{15} = 2$, Васе нужна цифра $v_{15}$ с остатком $-3 - 2 = -5 \equiv 4 \pmod{9}$, и он ставит 4. Аналогично, на ходы Саши 3, 4 и 5 Вася отвечает цифрами 3, 2 и 1 соответственно.

Как видно, для любого последнего хода Саши у Васи всегда есть доступный ответный ход (цифра из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$), который гарантирует, что итоговая сумма цифр будет кратна 9. При такой стратегии Васи итоговая сумма всегда будет равна $84 + (s_{15} + v_{15}) = 84 + 6 = 90$, а $90$ делится на 9.

Поскольку у Васи существует выигрышная стратегия, Саша никак не сможет ему помешать.

Ответ: Нет, Саша не сможет помешать Васе.