Номер 51, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 51, страница 17.

Условие.

51. Решите уравнение:

1) $|x| + 6 = 13;$
2) $|x| - 7 = -12;$
3) $7|x| - 3 = 0;$

4) $|x - 5| = 4;$
5) $|9 + x| = 0;$
6) $|x - 4| = -2;$

7) $|3x + 4| = 2;$
8) $|2x + 1| + 13 = 14;$
9) $||x| - 3| = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $|x| + 6 = 13$
Чтобы решить уравнение, сначала изолируем выражение с модулем. Перенесем 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$|x| = 13 - 6$
$|x| = 7$
Модуль числа равен 7, если само число равно 7 или -7.
$x_1 = 7$
$x_2 = -7$
Ответ: -7; 7.

2) $|x| - 7 = -12$
Изолируем выражение с модулем:
$|x| = -12 + 7$
$|x| = -5$
Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $|x| \ge 0$). Следовательно, уравнение не может равняться отрицательному числу -5. Корней нет.
Ответ: нет корней.

3) $7|x| - 3 = 0$
Изолируем выражение с модулем:
$7|x| = 3$
$|x| = \frac{3}{7}$
Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{3}{7}$
$x_2 = -\frac{3}{7}$
Ответ: $-\frac{3}{7}; \frac{3}{7}$.

4) $|x - 5| = 4$
Уравнение вида $|A| = B$ (где $B > 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
Рассмотрим два случая:
1) $x - 5 = 4$
$x = 4 + 5$
$x_1 = 9$
2) $x - 5 = -4$
$x = -4 + 5$
$x_2 = 1$
Ответ: 1; 9.

5) $|9 + x| = 0$
Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.
$9 + x = 0$
$x = -9$
Ответ: -9.

6) $|x - 4| = -2$
Модуль любого выражения всегда является неотрицательным числом, то есть $|x - 4| \ge 0$. Уравнение не может равняться отрицательному числу -2. Следовательно, у него нет решений.
Ответ: нет корней.

7) $|3x + 4| = 2$
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $3x + 4 = 2$
$3x = 2 - 4$
$3x = -2$
$x_1 = -\frac{2}{3}$
2) $3x + 4 = -2$
$3x = -2 - 4$
$3x = -6$
$x_2 = -2$
Ответ: -2; $-\frac{2}{3}$.

8) $|2x + 1| + 13 = 14$
Сначала изолируем модуль:
$|2x + 1| = 14 - 13$
$|2x + 1| = 1$
Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) $2x + 1 = 1$
$2x = 1 - 1$
$2x = 0$
$x_1 = 0$
2) $2x + 1 = -1$
$2x = -1 - 1$
$2x = -2$
$x_2 = -1$
Ответ: -1; 0.

9) $||x| - 3| = 5$
Это уравнение с вложенным модулем. Сначала раскроем внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $|x| - 3 = 5$
$|x| = 8$
Отсюда $x = 8$ или $x = -8$.
2) $|x| - 3 = -5$
$|x| = -5 + 3$
$|x| = -2$
Это уравнение не имеет корней, так как модуль не может быть отрицательным.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.
Ответ: -8; 8.