Номер 52, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 52, страница 17.

Условие.

52. Решите уравнение:

1) $|x| - 8 = -5;$

2) $|x| + 5 = 2;$

3) $|x + 12| = 9;$

4) $|8 - 0,2x| = 12;$

5) $||10x - 7| - 32| = -16;$

6) $||x| - 2| = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $|x| - 8 = -5$
Чтобы решить это уравнение, сначала изолируем модуль $|x|$. Для этого перенесем $-8$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.
$|x| = -5 + 8$
$|x| = 3$
Уравнение вида $|a| = b$ (где $b > 0$) имеет два корня: $a = b$ и $a = -b$. В нашем случае:
$x = 3$ или $x = -3$.
Ответ: $-3; 3$.

2) $|x| + 5 = 2$
Изолируем модуль $|x|$, перенеся $5$ в правую часть уравнения.
$|x| = 2 - 5$
$|x| = -3$
Модуль (абсолютная величина) любого числа по определению не может быть отрицательным, то есть $|x| \ge 0$. Так как $-3 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

3) $|x + 12| = 3$
Это уравнение вида $|A| = b$, где $A = x + 12$ и $b = 3$. Оно распадается на два уравнения:
$x + 12 = 3$ или $x + 12 = -3$.
Решим каждое из них:
1) $x + 12 = 3 \Rightarrow x = 3 - 12 \Rightarrow x = -9$
2) $x + 12 = -3 \Rightarrow x = -3 - 12 \Rightarrow x = -15$
Ответ: $-15; -9$.

4) $|8 - 0,2x| = 12$
Данное уравнение также имеет вид $|A| = b$. Раскрываем модуль:
$8 - 0,2x = 12$ или $8 - 0,2x = -12$.
Решим каждое уравнение:
1) $8 - 0,2x = 12$
$-0,2x = 12 - 8$
$-0,2x = 4$
$x = 4 / (-0,2)$
$x = -20$
2) $8 - 0,2x = -12$
$-0,2x = -12 - 8$
$-0,2x = -20$
$x = -20 / (-0,2)$
$x = 100$
Ответ: $-20; 100$.

5) $|10x - 7| - 32 = -16$
Сначала изолируем выражение с модулем.
$|10x - 7| = -16 + 32$
$|10x - 7| = 16$
Теперь раскрываем модуль:
$10x - 7 = 16$ или $10x - 7 = -16$.
Решим каждое уравнение:
1) $10x - 7 = 16$
$10x = 16 + 7$
$10x = 23$
$x = 2,3$
2) $10x - 7 = -16$
$10x = -16 + 7$
$10x = -9$
$x = -0,9$
Ответ: $-0,9; 2,3$.

6) $||x| - 2| = 2$
Это уравнение с вложенным модулем. Сначала раскрываем внешний модуль:
$|x| - 2 = 2$ или $|x| - 2 = -2$.
Получаем два более простых уравнения, которые нужно решить.
1) $|x| - 2 = 2$
$|x| = 4$
Отсюда $x = 4$ или $x = -4$.
2) $|x| - 2 = -2$
$|x| = 0$
Отсюда $x = 0$.
Объединяем все найденные корни.
Ответ: $-4; 0; 4$.