Номер 57, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 57, страница 17.

Условие.

57. Найдите все целые значения $m$, при которых корень уравнения:

1) $mx = 3$;

2) $(m+4)x = 49$

является целым числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Рассматриваем уравнение $mx = 3$.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо выразить $x$. Это возможно, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m \neq 0$. Если $m = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что неверно ($0 \neq 3$), и уравнение не имеет корней.

При $m \neq 0$ корень уравнения равен $x = \frac{3}{m}$.

Согласно условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Это значит, что результат деления 3 на $m$ должен быть целым числом. Такое возможно только в том случае, если $m$ является целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа -3, -1, 1, 3.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

2) Рассматриваем уравнение $(m + 4)x = 49$.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо выразить $x$. Это возможно, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m + 4 \neq 0$, что равносильно $m \neq -4$. Если $m = -4$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 49$, что неверно ($0 \neq 49$), и уравнение не имеет корней.

При $m \neq -4$ корень уравнения равен $x = \frac{49}{m + 4}$.

Согласно условию задачи, корень $x$ должен быть целым числом. Это значит, что выражение $(m + 4)$ должно быть целым делителем числа 49. Также по условию $m$ — целое число, следовательно, $(m+4)$ также является целым числом.

Найдем все целые делители числа 49. Это числа: -49, -7, -1, 1, 7, 49.

Теперь приравняем выражение $(m + 4)$ к каждому из найденных делителей, чтобы найти все возможные целые значения $m$:
Если $m + 4 = -49$, то $m = -49 - 4 = -53$.
Если $m + 4 = -7$, то $m = -7 - 4 = -11$.
Если $m + 4 = -1$, то $m = -1 - 4 = -5$.
Если $m + 4 = 1$, то $m = 1 - 4 = -3$.
Если $m + 4 = 7$, то $m = 7 - 4 = 3$.
Если $m + 4 = 49$, то $m = 49 - 4 = 45$.
Все найденные значения $m$ являются целыми.

Ответ: -53, -11, -5, -3, 3, 45.