Номер 62, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 62, страница 18.

Условие.

62. При каком значении a любое число является корнем уравнения:

1) $ax = a$;

2) $(a - 2)x = 2 - a$;

3) $a(a + 5)x = a + 5?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы любое число являлось корнем линейного уравнения вида $kx = b$, необходимо и достаточно, чтобы уравнение приняло вид $0 \cdot x = 0$. Это возможно только в том случае, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю, то есть $k=0$ и $b=0$.

1) $ax = a$

В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $a$, и свободный член также равен $a$. Уравнение будет иметь бесконечно много корней, если $a = 0$.

При $a=0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$.

Ответ: $a=0$.

2) $(a - 2)x = 2 - a$

Для того чтобы любое число было корнем этого уравнения, должны одновременно выполняться два условия:

1. Коэффициент при $x$ должен быть равен нулю: $a - 2 = 0$.

2. Свободный член должен быть равен нулю: $2 - a = 0$.

Из первого уравнения находим $a = 2$. Подставим это значение во второе уравнение: $2 - 2 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, при $a=2$ уравнение принимает вид $(2-2)x = 2-2$, то есть $0 \cdot x = 0$.

Ответ: $a=2$.

3) $a(a + 5)x = a + 5$

Аналогично предыдущему пункту, составим систему уравнений, приравняв к нулю коэффициент при $x$ и свободный член:

$\begin{cases} a(a+5) = 0 \\ a+5 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим, что $a = -5$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это значение первому уравнению. Подставляем $a=-5$ в первое уравнение:

$-5(-5+5) = -5 \cdot 0 = 0$.

Так как оба уравнения обращаются в верные равенства при $a=-5$, это и есть искомое значение. При $a=-5$ исходное уравнение становится $0 \cdot x = 0$.

Ответ: $a=-5$.