Номер 66, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 66, страница 18.

Условие.

66. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве $6x + 8 = 4x + *$, чтобы получилось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для анализа задачи преобразуем данное равенство. Пусть выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, это $E$.

$6x + 8 = 4x + E$

Перенесём слагаемое $4x$ в левую часть:

$6x - 4x + 8 = E$

$2x + 8 = E$

Теперь рассмотрим каждый случай, представляя $E$ в общем виде как $kx + c$, где $k$ – коэффициент при $x$, а $c$ – свободный член.

Подставим $kx+c$ вместо $E$ в исходное уравнение:

$6x + 8 = 4x + kx + c$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены – в правой:

$6x - 4x - kx = c - 8$

$(2 - k)x = c - 8$

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = 2 - k$ и $B = c - 8$. Проанализируем его решения в зависимости от коэффициентов.

1) не имеющее корней

Уравнение вида $Ax = B$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($A=0$), а правая часть не равна нулю ($B \neq 0$).

В нашем случае:

• $A = 2 - k = 0 \Rightarrow k = 2$
• $B = c - 8 \neq 0 \Rightarrow c \neq 8$

Это означает, что выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, должно иметь вид $2x + c$, где $c$ – любое число, кроме 8.

Например, возьмём выражение $2x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$6x + 8 = 4x + (2x + 1)$

$6x + 8 = 6x + 1$

$8 = 1$

Получилось неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: любое выражение вида $2x + c$, где $c \neq 8$. Например, $2x$ или $2x + 5$.

2) имеющее бесконечно много корней

Уравнение вида $Ax = B$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($A=0$ и $B=0$). В этом случае уравнение превращается в тождество $0 \cdot x = 0$, которое верно для любого значения $x$.

В нашем случае:

• $A = 2 - k = 0 \Rightarrow k = 2$
• $B = c - 8 = 0 \Rightarrow c = 8$

Следовательно, выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, должно быть $2x + 8$.

Проверим:

$6x + 8 = 4x + (2x + 8)$

$6x + 8 = 6x + 8$

$0 = 0$

Получилось верное тождество, значит, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: выражение $2x + 8$.

3) имеющее один корень

Уравнение вида $Ax = B$ имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($A \neq 0$). При этом значение $B$ может быть любым.

В нашем случае:

• $A = 2 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq 2$

Значение свободного члена $c$ может быть абсолютно любым.

Это означает, что вместо звёздочки можно подставить любое выражение $kx+c$, в котором коэффициент $k$ при переменной $x$ не равен 2. Это может быть выражение, не содержащее $x$ (тогда $k=0$), например, любое число.

Например, подставим выражение $3x + 1$:

$6x + 8 = 4x + 3x + 1$

$6x + 8 = 7x + 1$

$8 - 1 = 7x - 6x$

$x = 7$ (один корень).

Или подставим просто число 10 (здесь $k=0 \neq 2$):

$6x + 8 = 4x + 10$

$2x = 2$

$x = 1$ (один корень).

Ответ: любое выражение вида $kx + c$, где $k \neq 2$. Например, $x$, $5x+3$ или любое число.