Номер 70, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 70, страница 18.

Условие.

70. При каких целых значениях $a$ корень уравнения:

1) $x - 2 = a$;

2) $x + 7a = 9$;

3) $2x - a = 4$;

4) $x + 2a = 3$

является целым числом, которое делится нацело на 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дано уравнение $x - 2 = a$. Для нахождения корня уравнения, выразим $x$ через $a$:

$x = a + 2$

По условию, $a$ является целым числом ($a \in \mathbb{Z}$), а корень $x$ должен быть целым числом, которое делится нацело на 2, то есть $x$ — чётное число. Проанализируем выражение $x = a + 2$. Число 2 является чётным. Сумма двух целых чисел будет чётной только в том случае, если оба числа имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Чтобы $x$ был чётным, слагаемое $a$ также должно быть чётным. Следовательно, $a$ может быть любым чётным целым числом.
Ответ: $a$ — любое чётное целое число.

2) Дано уравнение $x + 7a = 9$. Выразим $x$ через $a$:

$x = 9 - 7a$

По условию, $a \in \mathbb{Z}$, а $x$ — чётное целое число. Проанализируем выражение $x = 9 - 7a$. Число 9 является нечётным. Разность двух целых чисел будет чётной, если оба числа имеют одинаковую чётность. Чтобы разность $x$ была чётной, вычитаемое $7a$ также должно быть нечётным. Произведение $7a$ является нечётным числом только тогда, когда оба множителя, 7 и $a$, являются нечётными. Так как 7 — нечётное число, то и $a$ должно быть нечётным. Следовательно, $a$ может быть любым нечётным целым числом.
Ответ: $a$ — любое нечётное целое число.

3) Дано уравнение $2x - a = 4$. Выразим $x$ через $a$:

$2x = a + 4$

$x = \frac{a + 4}{2}$

По условию, $a \in \mathbb{Z}$, а $x$ — чётное целое число. Во-первых, чтобы $x$ был целым числом, числитель $a + 4$ должен быть кратен 2. Так как 4 — чётное число, то и $a$ должно быть чётным. Представим $a$ в виде $a = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставим это в выражение для $x$:

$x = \frac{2k + 4}{2} = k + 2$

Во-вторых, по условию $x$ должен быть чётным. Значит, выражение $k + 2$ должно быть чётным. Так как 2 — чётное число, то и $k$ должно быть чётным. Представим $k$ в виде $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Теперь найдём, каким должно быть $a$:

$a = 2k = 2(2m) = 4m$

Это означает, что $a$ должно быть целым числом, которое делится нацело на 4.
Ответ: $a$ — любое целое число, кратное 4.

4) Дано уравнение $x + 2a = 3$. Выразим $x$ через $a$:

$x = 3 - 2a$

По условию, $a \in \mathbb{Z}$, а $x$ — чётное целое число. Рассмотрим правую часть уравнения $3 - 2a$. Для любого целого $a$, выражение $2a$ является чётным числом. Число 3 является нечётным. Разность нечётного и чётного чисел всегда является нечётным числом. Следовательно, $x$ будет нечётным числом при любом целом значении $a$. Это противоречит условию, что $x$ должен быть чётным. Таким образом, не существует целых значений $a$, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: таких целых значений $a$ не существует.